l X1 1 M 1图 B X 2 1
M 2图
6.4 力法的典型方程
按叠加公式 M =`M1 X1 +`M2 X2 +MP 作弯矩图。
计算控制截面弯矩：
MCB
1 14
ql2（上拉）
M AC
1 28
ql2（右拉）
1 ql 2 14
q
B
C
5 ql 2 56 A 1 ql 2 28
M图 ( kN m )
第六章 用力法计算超静定结构
6.4 力法的典型方程
建筑工程系
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
C
用力法计算图（a）结构并作M图： 多余约束处的位移条件：
1 0
A
(1)
2 0
Δ1 是基本体系在X1作用点（B点）沿X1方 C 向的位移，即B点的竖向位移；
Δ2 是基本体系在X2作用点（B点）沿X2方
向的位移，即B点的水平位移。
A
q
B
l
l
(a)
q
B X2
X1
(b)
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
分别计算基本结构在每种力单独作用下的位移：
（一）荷载单独作用时，基本结构
C
q
B
的相应位移为：Δ1P、Δ2P。
1P
A
(c) 2P
（二）单位力`X1=1单独作用时，基 本结构的相应位移为：d11、d21。
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
这就是n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般 形式，常称为典型方程。
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
推广到一般：
Δ1、Δ2、Δn 为原结构在去掉多余约束处的已知位移。
6.4 力法的典型方程
二、n次超静定结构的力法的典型方程：
从原结构中去掉n个多余约束代以相应的多余未 知力X1、X2、…、Xn后所得到的体系沿多余未知力 方向的位移应与原结构中相应的位移相等。
根据叠加原理，n个位移（变形）条件通常写为：
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
B X 2 1 δ12
未知力X2单独作用时，相应位
移为：d12 X2 、d22 X2 。
A
( e ) δ22
由叠加原理，得： 1 δ11 X 1 δ12 X 2 1 P
2 δ21 X 1 δ22 X 2 2 P
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
由叠加原理，得： 1 δ11 X 1 δ12 X 2 1 P
C
δ21 B δ11
基本未知量X1单独作用时，相
应位移为：d11 X1 、d21 X1 。
A
X1 1(Leabharlann )6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
q
B
C
C
1P
δ21
B δ11 X1单独作用时， 相应位移为：
A
(c) 2P
X 1 1 d11 X1 、d21 X1 。
A
(d )
（三）单位力`X2=1单独作用时，基 C 本结构的相应位移为：d12、d22。
思考：计算图示结构，作出M图。
P
P
2EI
EI
EI
l
(2)
δ21 X 1 δ22 X 2 2 P 0
1 2
ql2
C
(c)
作出`M1、`M2和MP图：
A
δ11
4l 3 3EI
l3
δ12
2EI
d21
C
(d) l
δ
22
l3 3 EI
1P
5ql 4 8 EI
2P
ql 4 4EI
A
系数和自由项代入方程（2）求解 基本未知量：
C (e)
得：
lA
q
B
MP图 B
（二）dii：主系数，都为正；
dij：副系数，可正、可负、也可为零。
dij = dji （i≠j）
ΔiP ：自由项。
位移互等定理
小结
n次超静定结构的力法的典型方程：
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 1 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 2
δn1X1δn2X2 δnnXnnP n
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0
特点：
δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
（一）有多少个多余约束就有多少个位移条件，就能 建立多少个方程。
2 δ21 X 1 δ22 X 2 2 P
由位移条件式（1） 1 0 (1)
2 0
得： δ11 X 1 δ12 X 2 1 P 0
(2)
δ21 X 1 δ22 X 2 2 P 0
这就是两次超静定结构的力法基本方程。
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
δ11 X 1 δ12 X 2 1 P 0