第十九章 含参量正常积分§19.1 含参量正常积分教学要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的函数⎰=dc dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1）设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义，函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2）称()(,)dc I x f x y dy =⎰和()()()(,)d x c x F x f x y dy =⎰为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。

类似可定义含参量y 的正常积分．含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。

即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性1. 连续性:定理19.1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dc dy y x f x I ),()(在],[b a 上连续．分析 设],[b a x ∈，对充分小的x ∆，有],[b a x x ∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），要证)(x I 在],[b a 上连续, 只须证)(x I 在任意],[b a x ∈上连续, 只须证0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时, ε<-∆+|)()(|x I x x I , 即 0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时,≤-∆+⎰|)],(),([|dc dy y x f y x x f ε<-∆+⎰dcdy y x f y x x f |),(),(|.要使上式成立， 只须 )(|),(),(|c d y x f y x x f -<-∆+ε. 由),(y x f 在R 上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。

证明 ∀x ∈[a,b ]，取∆x ，使x +∆ x ∈[a,b ]，有I (x +∆ x )-I (x ) =[](,)(,)dc f x x y f x y dx +∆-⎰ ， |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|d c f x x y f x y dx +∆-⎰，函数f(x,y)在闭矩形域D 一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, ∀(x 1,y 1), (x 2,y 2)∈D ：| x 1- x 2|<δ,| y 1- y 2|<δ,有 |f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|< ε.特别是，∀ (x,y ), (x +∆ x , y)∈R ：|∆x |<δ,有 |f(x,y) -f (x +∆ x , y) |<ε. 所以，|∆ x |<δ,有 |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|dc f x x y f x y dx +∆-⎰<ε (b-a ) , 即函数I (x )在区间[a,b ]连续。

结论 设x 0∈[a,b ]，则=⎰→dcx x dy y x f ),(lim0⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0(极限运算与积分运算交换顺序).同理，若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=b adx y x f y J ),()(在],[d c 上连续．定理19.2(连续性)设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上连续，其中函数)(x c ,)(x d 为],[b a 上的连续函数 ,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （6）在],[b a 上的连续．分析 已知定理19.1成立, 要证定理19.2, 要先进行变量变换, 将)(x F 化为)(x I 的形式. 对)(x F 用换元积分法, 令))()(()(x c x d t x c y -+=, 当y 在)(x c 与)(x d 之间取值时, t 在]1,0[上取值, 且dt x c x d dy ))()((-=, 代入得⎰⎰--+==1)()())()()))(()(()(,(),()(dt x c x d x c x d t x c x f dy y x f x F x d x c由于被积函数)))()(()(,(x c x d t x c x f -+))()((x c x d -在上]1,0[],[⨯b a 连续, 由定理19.1即得结论.证明思路：辅助函数 应用举例 例1 求 ⎰+→++αααα12201lim x dx. 解 记⎰+++=αααα1221)(x dx I ，由于α，α+1，2211α++x 连续，由定理19.2知)(αI 在0=α连续,所以=++⎰+→αααα12201lim x dx41102π=+⎰x dx .2. 可微性定理19.3(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在],[b a 上可微，且=⎰dcdy y x f dx d ),(⎰∂∂dcdy y x f x),( . 即积分和求导次序可换 分析 要证结论成立, 只需证=∆-∆+→∆x x I x x I x )()(lim0⎰∂∂dcdy y x f x),(⎰=d c x dy y x f ),(⇔ε<-∆∆⎰|),(|d c x dy y x f x Iε<-∆-∆+⇔⎰⎰⎰|),(),(),(|dcx dcdcdy y x f xdyy x f dy y x x fε<-∆-∆+⇔⎰|)],(),(),([|dcx dy y x f xy x f y x x fε<-∆-∆+⇔|),(),(),(|y x f xy x f y x x f x利用函数与其导数之间的桥梁－拉格朗日中值定理εθ<-H +⇔|),(),(|y x f y x x f x x , 利用x f 连续即可.证明思路：导数的定义+Lagrange 中值定理+定理19.1 定理19.4(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域],[],[q p b a R ⨯=上连续，)(x c ，)(x d 为定义在],[b a 上其值含于],[q p 的可微函数，则⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在],[b a 上可微，且⎰=')()(),()(x d x c x dy y x f x F )())(,()())(,(x c x c x f x d x d x f '-'+ . （7）证明 把)(x F 看作复合函数：⎰==dc dy y x fd c x H x F ),(),,()(,其中)(x c c =，)(x d d =,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有⎰=∂∂+∂∂+∂∂=')()(),()(x d x c x dy y x f dxddd H dx dc c H x H x F )())(,()())(,(x c x c x f x d x d x f '-'+.应用举例例2 计算积分=I ⎰++1021)1ln(dx x x .其思路是1) 适当引入参量, 得到()(,)dc I x f x y dy =⎰ 原则是()(,)dx c I x f x y dy '=⎰ 要容易求积2)利用端点条件，例如 ，即可求出 ()x I I t dt βα=⎰解 考虑含参量积分⎰++=1021)1ln()(dx xx I αα. 显然0)0(=I , I I =)1(且函数)(αI 在]1,0[]1,0[⨯=R 上满足定理19.3的条件, 于是⎰++='102)1)(1()(dx x x x I αα⎰+-++++=10222)111(11dx x x x x αααα01)]1ln()1ln(21arctan [1122x x x ααα+-+++=)]1ln(2ln 214[112x απαα+-++=, 所以⎰='10)(ααd I dx x )]1ln(2ln 214[1121απαα+-++⎰)1(2ln 4)1(01arctan 2ln 2101)1ln(82I I -=-++=πααπ另一方面)1()0()1()(1I I I d I =-='⎰αα，所以 ==)1(I I 2ln 8π.例 3 设)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当||x 充分小时，函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数存在，且)()()(x f x n =ϕ. 解 )()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在原点的某方邻域内连续，与是由定理19.4可得+---='⎰-x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ)()()!1(11x f x x n n --- ⎰---=x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理 )(x ϕ''⎰---=x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去, 求得k 阶导数为)()(x k ϕ⎰-----=x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1. 特别当1-=n k 时有)()1(x n -ϕ⎰=xdt t f 0)(, 故)()()(x f x n =ϕ.3. 可积性定理19.5(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数)(x I 和)(y J 分别在],[b a 和],[d c 上可积．证明 由)(x I 和)(y J 的连续性即知.定理19.6(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则⎰⎰b adcdy y x f dx ),(⎰⎰=d cbadx y x f dy ),(.应用举例例4 求⎰-=10ln dx xx x I ab . 解 令()ln b ax x f x x-=，则 0lim ()0x f x +→=，1lim ()x f x b a -→=-. 将函数f (x )在0与1作连续开拓，即0, 0(),01ln , 1b a x x x f x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩，从而函数f (x )在区间[0,1]连续。