第十四讲
圆和扇形的拓展
与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法．
圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n
r =⨯；
圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360
n
r =⨯．
板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用
【例题1】
【基础题】求下列各图中阴影部分的面积．
(1)
1010
(2)
b
a
【分析】在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得 解：
（1）S 阴影 252
10
1021=⨯⨯= （2）S 阴影ab b a =⨯=
【延伸题】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【分析】割补法．如下图，格线部分的面积是36平方厘米． 解：
把不规则图形转化成了一个正方形，求得：
S=6×6=36（平方厘米）
【变形题】如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)
【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25(cm )⨯⨯÷=
【拓展题】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3) 【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
解：
如下图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个
角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个1
4
圆，合
起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为224π119+⨯=(平方厘米)．
D C
B
A 6
7C
B A
D
C D
C C
E (2)
(1)
E C
A
板块二 曲线型面积计算
【例题2】
【基础题】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的3
4
倍，则角CAB 的度数是________．
【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21π
π122
⨯=，扇形BAC 的面积为
π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22π
π23603
n ⨯⨯=
，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．
【延伸题】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度？(π3=)
【解析】
1
67212
ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，
根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C
∠+∠⨯⨯=°
,
所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.
【变形题】如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．
【解析】如图，连接OC 、OD 、CD ．
由于C 、D 是半圆的三等分点，所以AOC ∆和COD ∆都是正三角形，那么CD 与AO 是平行的．所以ACD ∆的面积与OCD ∆的面积相等，那么阴影部分的
面积等于扇形OCD 的面积，为21
π618.846
⨯⨯=．
板块三 曲线型旋转问题
【例题3】
【基础题】如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，60ABC ∠=︒，此时BC 长5厘米．以点B 为中心，将ABC ∆顺时针旋转120︒，点A 、C
分别到达点E 、D 的位置．求AC 边扫过的图形即图中阴影部
分的面积．(π取3)
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为60EBD ∠=︒，那么120ABE ∠=︒，
则阴影部分为一圆环的1
3．
所以阴影部分面积为()221
π753
AB BC ⨯⨯-=(平方厘米)．
【延伸题】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线
长恰好是5cm ．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，再绕顶点C 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅲ的位置，再绕顶点D 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅳ的位置，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．
ⅣⅢ
ⅡⅠE
D
C
B
A
【解析】因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)． 这三段路程分别是：
第1段是弧1AA ，它的长度是1
2π44
⨯⨯⨯(cm )；
第2段是弧12A A ，它的长度是1
2π54⨯⨯⨯(cm )；
第3段是弧2A E ，它的长度是1
2π34⨯⨯⨯(cm )；
所以A 点走过的路程长为：111
2π42π52π36π444
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(cm )．
【拓展题】如图所示，大圆周长是小圆周长的n (1n >)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无
滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n ”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π(1)n ⨯-．
所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)
12π
n n ⨯-=-(圈)．
图（1）图（2）
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为2π(1)
n
⨯+．
所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)
1
2π
n
n
⨯+
=+(圈)．
1、在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起如图，试求金属带的长度和阴影部分的面积。

3、如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．
4、如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)
5、半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
答案： 1、2
2、（4+π）米，（π4
1-1）平方米。

3、2.5 4、15 5、1圈。