V W
1 2
F l
1 2
F
Fl EA
F

F l 2 EA
2

FN l 2 EA
2
F
l l
V
2 EA ( x ) d x
l
FN (x)
2
二、扭转
m

m

V W
1 2
M
e

2
1 2
M
M el
e

M
2 e
l

T l 2G I p
2
GIp
2G I p
0
(x)
0

l
[( M ( x ) M 2E I
( x )]
2
dx
F 0 作功：
共做功 F1 、 F 2 作功： V W1 V 0 V 1 F 0 在 上又作功： 1
V 0
F1 F2
F0 1
C

W1 V1
V 0 V 1
2 3
V1 V 2 V
⑷ 用普遍定理
w A (w A ) F (w A ) M
0


FL
2
3


M eL 2 EI
M eL
2
3 EI
FL 2 EI

A
( A ) F ( A ) M
e
V W
1 2
Fw
A

1 2
M e
A

EI 2 3 F L

M eF 2 EI
V
2G I
l
T (x)
p
dx
(x)
三、弯曲
V W
纯弯曲：
1 2
M e
1 2
2
M
M el
e

M
2 e
l

M l 2EI
2
EI
2EI
横力弯曲：V


2 E I ( x) dx
l
M
(x)
13-3 变形能的普遍表达式
F3
F2
F1
1
2
3
V W
总和。
1 2
F1 1
m
m
(
max

min
)
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
目录
疲劳极限
将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数N 各不相同。 以 为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 力—寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时，max = /2，故S-N 曲线纵坐标也可以采用max 。
1 2
F 2 2
1 2
F 3 3
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的
M (x)
N (x)
M (x)
N (x)
T (x)
T (x)
V

L
F N ( x ) dx 2 EA
2


L
M
2
( x ) dx

2 EI

L
T ( x ) dx 2 GI
P
2
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。

( 2 ) 在 B 截面作用一单位力偶 M ( x ) Fx , M
0
, 如图 ( c ) 所示
(x) 1

B
ห้องสมุดไป่ตู้

l
M (x) M EI
0
(x)
l
dx

0
Fx EI
dx

Fl
2


2 EI
§13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形
式的积分：


2
得： F w C 1 M
Fl
16 E I
2
由此得：
wC1
Ml
16 E I
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 C 。
w C1
F

B2
解：由功的互等定理
F wC1 M B 2
得： F w C 1 M
由此得：
l F 2 2E I
Ml
2
2
wC1
目录
11-4. 影响持久极限的因数
1.构件外形的影响 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中
有效应力集中因数
K
1 d 1 K
m ax n
或
K
1 d 1 K
理论应力集中因数
K
目录
2.零件尺寸的影响——尺寸因数

(
1
)d

(
1
)d
光滑零件的疲劳极限

1
试样的疲劳极限
1
查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响——表面质量因数

(
1
)


1
磨削加工（试样）
1
其他加工
1
一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
l
M ( x )M ( x ) EI
dx
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，
故只需计算积分

l
M ( x ) M ( x )d x
直杆的M0(x)图必定是直线或折线。
M ( x ) M ( x )d x
l
tg x M ( x ) d x
l
tg x C
F i i F1 1 F 2 2 F i i
所以： V

Fi i
i
V Fi
Fi 0
V Fi
i
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移
卡氏第二定理
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。
8E I
13-5 卡氏定理
F3
F2
F1
1
V W
1 2
F1 1
1 2
F2 2
1 2
F3 3
2
3
i
Fi
若只给 F i 以增量 ，其余不变，在 F i 作用下，原各力作用点将 产生位移 , , , ,
1 2 i
变形能的增加量：
i
与
Fi
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F
解：
M (x) F x
l
x
V

l
M
2
(x)
dx
F l 6 EI
Fl
3
2
3
2E I
W
1 2
F wB
由 V W ，得
wB
3 EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求 梁的应变能。

O
max
min
t
目录
通常用以下参数描述循环应力的特征 (1)应力比 r
r = -1 ：对称循环 ；
r

min max
r = 0 ：脉动循环 。
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力


1 2
max

min
目录
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定
N 0 5 10
6
~ 10
7
时对应的
max
称为条件疲劳极限，用
N0 1
表示。
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500 MPa
( -1 ) b 170 ~ 220 MPa
( -1 ) t 120 ~ 160 MPa
横力弯曲：
i

桁架杆件受拉压：
V Fi

Fi
(
L
M (x) 2 EI
2
dx )

L
M ( x) M ( x ) dx EI Fi
V

j 1
n
FN j L j 2 EA
j
2
i
V Fi
V Fi


j 1
n
FN j L j EA
j

FN Fi
V
1 2
F i i F1 1 F 2 2 F i i
略去二阶小量，则：
V F1 1 F 2 2 F i i
如果把原有诸力看成第一组力，把 F i 看作第二组力，根据互等 定理：
0
(x)
dx
莫尔定理 （莫尔积分）
0

对于组合变形：

l
(x)
dx