一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。

【关键词】几何题；解法
题目已知圆c:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
一、设而不求
解设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线c的交点为
a(x1,y1),b(x2,y2)。

由题意知oa⊥ob，则x1x2+y1y2=0。

（*）
即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。

由y=x+b,
(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得
2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。

δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，
即b2+6b-90。

所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．
二、抓关键点——弦ab的中点
直接法:设直线l的方程为y=x+b,ab的中点为d,
则cd⊥ab,得kcd=-1,直线cd方程为x+y+1=0,
由x+y+1=0,
y=x+b，得d-b+12,b-12。

在rt△acd中,ac=3,cd=|3+b|2,ad=do=
b+122+b-122。

由勾股定理,ac2=cd2+ad2。

即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。

所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．间接法: 设直线l的方程为y=x+b, ab的中点d(a,b)。

由cd⊥ab,得b+2a-1=-1。

(1)
在rt△acd中,ac=3,cd=(b+2)2+(a-1)2,ad=do=a2+b2。

由勾股定理,ac2=cd2+ad2,
即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。

(2)
联立(1)(2)解得a=-1
b=0或a=32,
b=-52。

当a=-1,
b=0时,直线l的方程为y=x+1;
当a=32,
b=-52时,直线l的方程为y=x-4．
三、借助曲线系
解设直线l的方程为y=x+b。

以ab为直径的圆可设为(x-1)2+(y+2)2-9+λ(x-y+b)=0,
即x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y-4+λb=0,圆心为2-λ2,λ-42。

由圆心在直线l上得2-λ2-λ-42+b=0。

(1)
由以ab为直径的圆过原点得-4+λb=0。

(2)
联立(1)(2)解得λ=4,
b=1或λ=-1,
b=-4。

所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．四、线段ab可看作两圆的公共弦
解设以ab为直径的圆为x2+y2+dx+ey+f=0。

由以ab为直径的圆过原点得f=0。

两圆方程相减可得公共弦ab所在直线方程为
(d+2)x+(e-4)y+4=0。

由圆心-d2,-e2在直线ab上得(d+2)×-d2+(e-4)×-e2+4=0。

(1)
又由于直线ab的斜率为1，可得-d+2e-4=1。

(2)
联立(1)(2)解得d=2，
e=0或d=-3，
e=5。

当d=2，
e=0时,直线l的方程为y=x+1；
当d=-3,
e=5时,直线l的方程为y=x-4．
事实上,在现行教学理念下,多给学生一些自主学习的时间,学生会给我们很多惊喜。