1t t2 1t t2 1t t2
2
为 1 的球面上。
2
2.证 明 :(1)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 所 有 直 母 线 都 平 行 于 同 一平面:
(2)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 .
xa yb z
于是 M1 ， M1M 2 ， M1M3 所确定的平面方程是 a 0 c 0
0 b c
即 bc(x a) ac( y b) abz 0 .
2.
已
知
空
间
两
条
直
线
l1
:
x
z
y 1
0 0
,
l2
:
x
z
y 1
0 0
.
(1)证 明 l1 和 l2 是 异 面 直 线 ;(2)求 l1 和 l2 间 的 距 离 ;(3)求 公 垂
直
母
线
方
程
是
uw((2x2x
z) 5 z) 5
u(1 w(1
y) 3 y) 3
与
t(
x 23
v(
x 2
z) 5
t (1
y) 3
把 点 P(2,0,0) 分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ， 求 得 w u,t v 代 入 直
母
线
方
程
，
得
到
过
点
P(2,0,0) 的
=__(-2,-1,0)____.
3.点
(1,0,1)
到直线
x 3x z
y
0
的距离是___
66 ___________.
11
4.点 (1,0,2) 到平面 3x y 2z 1的距离是__ 3 14 ___________.
7
5.曲 线
C:
x2
z
y2 z x 1
0
对
xoy 坐 标 面 的 射 影 柱 面 是 ___
1.求 证:曲 线 r (t) (
t
t2 ,
, t3 )在一个球面上,这里
1t t2 1t t2 1t t2
的 t (, ) .
证 明 :设
r(t)
(x,
y, z) ， 则 有
x2
y2
z2
y，即
x2
(y
1 )2
z2
1
2
4
所 以 曲 线 r (t) (
t
t2 ,
, t3 ) 在 球 心 为 (0, 1 , 0) ,半 径
x2 x y2 1 0 ____,
对 yoz 坐标面的射影柱面是__ (z 1)2 y2 z 0 _________,对 xoz
坐标面的射影柱面是____ z x 1 0 __________.
6.曲线
C:
x2 z
2y 0
绕
x
轴旋转后产生的曲面方程是__
x4
4(
y2
z2
)
_____， 曲 线 C 绕 y 轴 旋 转 后 产 生 的 曲 面 方 程 是 ___ x2 z2 2y
两 直 母 线 的 夹 角 是 ， 则 有 cos v1 v2 8 ， arccos 8 .
v1 v2 17
17
x2 y z
（2）两直母线所在平面 的方程是 0 3 5 0，即 x 2
0 3 5
显然平面 与腰椭圆所在的平面的夹角是 0.
四、证明题(共 2 题,第一题 10 分,第二题 15 分,共 25 分)
线方程.
证明：(1)
l1 的 标 准 方 程 是
x 1
y 1
z 1，
0
l1 经 过 点
M1(0, 0, 1) ，方
向 向 量 v1 {1, 1, 0}
l2 的 标 准 方 程 是
x 1
y 1
z2 ，
0
l2 经 过 点
M 2 (0, 0, 2) ，
方
向
向
量
v2 {1,1, 0}， 于 是
003
(M1M 2, v1, v2 ) 1 1 0 6 0 ，所以 l1 和 l2 是 异 面 直 线 。
2y 1
绕
x
轴旋转产生的曲面方面.
解
：设
M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)
是母线
x2 z
2 1
y
上任意一点,则过
M1
(
x1
,
y1
,
z1
)
的
纬
圆方程是
x2
y2
z2 x12 x x1 0
y12
z12
，（1）
又
x12 2 y1 z1 1
，（2）
由（1）（2）消去 x1, y1, z1 得到 x2 2 y2 2z2 2 0 .
4.已 知 单 叶 双 曲 面 x2 y2 z2 1, P(2,0,0) 为 腰 椭 圆 上 的 点 ,
4 9 25
(1)求经过点 P 两条直母线方程及其夹角;
(2)求 这 两 条 直 母 线 所 在 的 平 面 的 方 程 及 平 面 与 腰 椭
圆所在平面的夹角.
解
：
(1)设
单
叶
双
曲
面
两
110
(2) 由于 v1 v2 (0, 0, 2) ， v1 v2 2
l1 和
l2 间 的 距 离
d
(M1M 2 , v1, v2 ) v1 v2
6 2
3
x y z 1
1
1
0 0
(3)公
垂
线
方
程
是
0
x
0 y
2 z2
，
即
x
x
y y
0 0
。
1
1
0 0
0 0 2
3.求曲线
x2 z
面方程.这里 a,b,c 是 3 个非零实数.
解 : 设 点 P(a,b, c) 在 平 面 z 0 上 的 射 影 点 为 M1(a,b, 0) ， 在 平 面
x 0 上的射影点为 M2 (0, a,b) ，在平面 y 0 上的射影点为 M3(a, 0, c) ，则
M1M 2 (a, 0, c) ， M1M3 (0, b, c)
军教院 第八章空间解析几何测试题
一、填空题（共 7 题，2 分/空，共 20 分）
1.四点 O(0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , B(0,1,1) , C(0, 0,1) 组成的四面体的体积是___
1___.
6
2.已 知 向 量 a (1,1,1) , b (1,2,3) , c (0, 0,1) ,则 (a b) c
两
条
直
母
线
x 2 x 2
z 5 z 5
1 1
y 3 y 3
与
x
2 x
2
z 5 z 5
1 1
y 3 y 3
，
即
15x 15x
10 y 10 y
6z 6z
30 30
0 0
与
15x 10 y 6z 30 0 15x 10 y 6z 30 0
两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取 v1 (0,3,5) 和 v2 (0,3, 5) ， 设
_______________.
7.椭球面 x2 y 2 z 2 1的体积是_____40π____________.
9 4 25
二、计算题（共 4 题,第 1 题 10 分,第 2 题 15 分,第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分,共 55 分）
1. 过点 P(a,b,c) 作 3 个坐标平面的射影点,求过这 3 个射影点的平