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2.2.2 数学期望的定义
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定义 2.2.1 （1）设离散型随机变量 X 的分布律为
PX xk pk , k 1,2,
若级数 xk pk 绝对收敛,则称级数 xk pk 的和为随
k 1
k 1
机变量 X 的数学期望(mathematical expectation),
记为 E(x)即
E( X ) xk pk k 1
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例2.2.1
X 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3
解
E(X) = 1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.
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例2.2.2
甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，
用X1, X 2分别表示甲乙两人某天生产次品数,经统计有
试比较他们技术水平的高低。
解：根据定义,
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问题：能否用一个数值来刻画随机变 量X与其数学期望的偏离程度呢？
法二
E(Y ) (2)2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10 2.30
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例2.2.7
某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这
种原料的市场需求量X(单位:吨)服从
(300,500)上的均匀分布.每售出1吨该原料, 公司可获利1.5(千元);若积压1吨,则公司损失 0.5(千元).问公司该组织E(X1) 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 1.3 由E( X1)知甲平均一天生产出1.3件次品,而
E(X 2 ) 0 0.2 1 0.5 2 0.3 3 0 1.1 所以甲的技术水平比乙低
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例2.2.3
设X的密度函数为f
(
x)
e
x
,
0,
解： 依题意, X的概率密度为
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定义 2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),若广
义积分 xf ( x)dx绝对收敛，则称积分 xf ( x)dx的值
为随机变量 X 的数学期望。记为 E(X) , 即
E(X)=
xf ( x)dx
数学期望简称期望，又成为统计平均值，简称 均值。数学期望的量纲与随机变量的量纲相同
§2.2 随机变量的数学期望
➢ 分赌本问题(17世纪) ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?
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两种分法
1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分
： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4
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2.2.1 数学期望的概念
1654年帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去 ，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能的 取值为0或100，分布列为
X 0 100 P 1/4 3/4
甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.
sin
x
1
dx
2
0
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数学期望的性质
(1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))
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练习1
设X~
2x,
p(x)
0,
0 x<1 其它
求下列 X 的函数的数学期望.
(1) 2X1, (2) (X 2)2
解: (1) E(2X 1) = 1/3,
(2) E(X 2)2 = 11/6.
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§2.3 随机变量的方差与标准差
引例： 两个牌号手表的日走时误差情况如下 表。问哪一种牌号的手表走时更为准确？
日走时误差 -3 -2 -1 0 1 2 3 （秒） 概率（甲） 0.1 0.15 0.15 0.2 0.15 0.15 0.1 概率（乙） 0.05 0.05 0.1 0.6 0.1 0.05 0.05
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再看一个例子。
例 设某班有N 个学生，他们有 m 种不同的身高：
x1, x2 , , xm ，身高为xk 的学生共有nk 个（1 k m ）， 则平均身高为：
x n1 x1 n2 x2 nm xm N
x1
n1 N
x2
n2 N
xm
nm N
m
xk
k 1
nk N
上式中x1, x2 ,
求E(X )
解：E( X ) 1 x dx
(x 2 1)
因为广义积分
| x | (x 2 1)
dx
不收敛
所以E(X )不存在
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注意点
➢ 数学期望简称为期望. ➢ 数学期望又称为均值. ➢ 数学期望是一种加权平均.
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2.2.3 数学期望的性质 定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则
, x m ,为各种可能的身高，而
n1 N
, n2 N
,
, nk N
为相应的百分比。
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用概率的术语来说， 从班中任选一个学生作为实 验 E , 选中的学生身高 X 为随机变量，此时 x1, , xm 就 是 X 所有可能取的一切值，而 n1 , n2 , , nm 便是相应的概
NN N
率，故平均身高就是 X 的一切可能值与相应的概率乘积 之和。
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例2.2.8 设随机变量X在区间(0, )内服从均匀分布,
求随机变量函数Y sin X的数学期望
解：法一 利用分布函数法求得Y的概率密度
f
y
(
y)
2, 1 y2
0 y 1
0, 其它
1
2
2
E(Y ) y
dy
0 1 y2
法二 依题意X的概率密度为
f
(x)
1
,
0,
0 x
其它
E(Y )
x 0,求E(X ) x0
于是有
ex , x 0
f (x) 0, x 0
E(X )
xf (x)dx
xex dx
0
xex ex dx
00
1 ex dx 1
0
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例2.2.4
设随机变量X服从Cauchy分布, 概率密度为
f (x) 1 , x
(x 2 1)
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例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为
X01 2 P 1/2 1/4 1/4 求 E(X2+2).
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例2.2.6设随机变量X的分布律为
求随机变量函数Y X 2的数学期望
解：法一 先求Y的分布律为
E(Y ) 0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10 2.30