14
方差分析表
---------------------------------------------------------------
差异来源 平方和 自由度 方差
F值
Source SS
df
MS
---------------------------------------------------------------
;
4
方差分析的逻辑
;
5
方差分析的逻辑
• 组间差异（between-groups variance）
• 组内差异（ within-groups variance ）
• 组间差异对组内差异的比值越大，则各 组平均数的差异就越明显。通过对组间
差异与组内差异比值的分析，来推断几 个相应平均数差异的显著性。
k i 1
ni ( X i
Xt )2
k i 1
Ti 2 ni
T2 N
(3552 3752 3502 ) 10822 70
555
15
SSE
k i 1
ni
( X ij X i )2
j 1
k i 1
ni
X
2 ij
j 1
k Ti 2 n i1 i
77952
3552 (
3752
3502
)
122
方差分析（analysis of variance）
• 问题
为了研究三种不同教材的质量，抽取三 个实验班分别使用其中一种教材，而对其 他因素加以控制。经过一段时间的教学后 进行测试，得到三种实验处理的数据如下：
教材A：70 74 72 68 71；平均数：71 教材B：75 80 77 68 75；平均数：75 教材C：70 72 66 72 70；平均数：70
• q 检验（HSD检验）
q
Xi X j
MSE 2
1 ni
1 nj
;
18
q值表
• 三个条件：
– 组内方差的自由度
– 显著性水平
– 等级数
• 将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等 级R。
• 求两两逐对比较的平均数的比较等级 r （等级差 +1），r 就是等级数。
;
19
多组方差的齐性检验
差异来源 平方和 自由度 方差 F值
---------------------------------------------------------------
组间差异 70
2
35
3.44
组内差异 122 12
10.17

总差异
192 14
---------------------------------------------------------------
组间差异 SSA dfA MSA MSA/MSE
组内差异 SSE dfE MSE
总差异
SST dft
---------------------------------------------------------------
;
15
方差分析表
---------------------------------------------------------------
• 因素：实验中的自变量称为因素（factor）。
– 只有一个自变量的实验称为单因素实验，用单因素 方差分析（One-Way ANOVA）。
– 有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验， 用多因素方差分析。
• 水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平 （level）。
– 包括量差或质别两类情况。
• 处理（treatment）：按各个水平条件进行的重 复实验称为各种处理。
;
16
完全随机设计的逐对差异检验（一）
multiple comparison of the means
• t 检验（LSD检验）
t • 比较：
Xi X j
MSE
1 ni
1 nj
t
X1 X2
(n1 1)S12
(n2
1)S
2 2
(1
1
)
n1
n2
2
;
n1 n2
17
完全随机设计的逐对差异检验（二）
T 2 X ij n j1
k2 i
i1 i
–
总平方和：SST
k i1
ni
( Xij Xt )2
j 1
k i1
ni j 1
X
2 ij
T2 N
;
10
计算
SST
k i 1
ni
( X ij X t )2
j 1
k i 1
ni j 1
X
2 ij
T2 N
77952 10802 192 15
SSA
5 ;5
5
11
单因素方差分析(2)
• 计算自由度
– 组间自由度：K-1 – 组内自由度：N-K – 总自由度：N-1
本例中： – K-1=3-1=2 – N-K=15-3=12
;
12
单因素方差分析(3)
• 计算均方差
– 组间方差：MSA=SSA/(K-1) – 组内方差：MSE=SSE/(N-K)
• Simple randomized participants design
;
9
单因素方差分析(1)
• 计算（离差）平方和
–
组间平方和：SSA
k i 1
ni ( X i
Xt )2
k i1
Ti 2 ni
T2 N
–
组内平方和：SSE
k i1
ni
( X ij
j 1
X i )2
k i1
ni
;
6
方差分析的前提
• 独立性 • 正态性 • 方差齐性
;
7
方差分析的数学模型
• 可以解释的和不能解释的
eij (Xij X i ) (X i X t )
X ij i eij
• General Linear Model
;
8
单因素完全随机设计的方差分析
• 为了检验某一个因素多种不同水平间的 差异的显著性，将从同一个总体中随机 抽取的被试，再随机地分入各实验组， 各实验组随机接受不同的实验处理以后， 用方差分析法对这多个独立样本平均数 差异的显著性进行检验。
总平均数：72 三种教材的效果有无显著差异？
;
1
方差分析
• 方差分析的必要性
– 多个样本的均值之差的显著性检验 – t 检验的误差
;
2
方差分析的目的
• 方差分析的基本功能就在于它能对多组 平均数差异的显著性进行检验，而且可 以避免多次逐对 t 检验所造成的错误概 率的累积。
;
3
方差分析中的几个概念
• 计算 F 值：MSA/MSE
;
13
计算
• 计算均方差
– 组间方差： MSA=SSE/(K-1)=70/2=35 – 组内方差：MSE=SSE/(N-K)=122/12=10.17
• 计算 F 值：MSA/MSE=35/10.17=3.44
• 查表： • F(0.05, 2, 12)=3.88
;