专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展
【课本溯源】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如：
1cos 22cos 2-=x x x 2cos x cos x
x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=，可见可以表示为的三次多项式. x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=x 3cos x cos 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. n )(t P n ),(cos cos x P nx n =)(t P n Tschebyscheff ）多项式.
（1）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示)(4t P x cos x
4cos （2）利用结论：，求出的值（）
x x x cos 3cos 43cos 3-= 18sin 18290183⨯-=⨯本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为nx cos x cos 的次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：n .
1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x 第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令 18290183⨯-=⨯x
18=x 化简后可得： 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=⨯=⨯-=-=⨯，解得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- 41518sin -=
【探究拓展】
探究1：观察下列等式：观察下列等式：
①;
1-cos 22cos 2αα=② ;
42cos 48cos 8cos 1ααα=-+③ ;
642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-④ ;8642cos8128cos
256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤ .10
8642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-可以推测，._________=+-p n m 962
=+-p n m 探究2：3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =
拓展1：已知△ABC 的三边长为有理数
（1）求证cosA 是有理数；
（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数.
解：因为是有理数，由可知是有理数，A cos 1-cos 22cos 2
A A =A 2cos （这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关,sin sin -cos cos )1(cos A nA A nA A n =+系？）
由，
,sin sin cos cos )1-(cos A nA A nA A n +=A nA A n A nA cos cos )1-(cos sin sin -=故，可知的有理性由和的有理性1)A -cos(n -cos cos )1(cos A nA A n =+A n )1(cos +nA cos A n )1cos(-决定，因为，是有理数，从而是有理数，同理可得，A cos A 2cos A 3cos ,6cos ,5cos ,4cos A A A ，
A n )1-(cos 为有理数，命题得证.
nA cos 拓展2：已知三次函数f (x ) = 4x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c )
∈R （1）若是奇函数，，过点作图象的切线，求切线的方程；
()f x 3b =-()2,6-()y f x =l l （2）若函数在处取极大值，求的取值范围；
()f x 1x =a （3）如果f (x )是奇函数，过点（2，10）作三条y = f (x )图象的切线l ，求实数b 的取值范围；
（4）当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤1，求a ，b ，c 的所有可能的取值．
解：（1）因为是奇函数，，所以由，得，
()f x 3b =-()()f x f x -=-0a c ==所以．
()()3243,123f x x x f x x '=-=-设切点为，则切线的方程为：，
()3,43P t t t -l ()()()3243123y t t t x t --=--因为切线过点，所以，
l ()2,6-()()()326431232t t t t ---=--解得或．
0t =3t =所以切线有两条，它们分别为或．
l 30x y +=1052160x y --=（2）2()122f x x ax b
'=++，所以，
(1)1220f a b '=++=122b a =--所以=2()122122f x x ax a '=+--(1)(12122)
x x a -++
所以由得到． 122112
a +->12a <-（3）因为f (x )是奇函数，所以由f (－x ) = －f (x )得a = c = 0，设切点为P (t ，4t 3＋bt )，则切线l 的方程为y －(4t 3＋bt ) = (12t 2＋
b )(x －t )，由于切线l 过点（2，10），所以
10－(4t 3＋bt ) = (12t 2＋b )(2－t )，整理得b = 4t 3－12t 2＋5，
令g (t ) = 4t 3－12t 2＋5－b ，则g ′(t ) = 12t 2－24t = 12t (t －2)，
所以g (t )在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线l 有三条，当且仅当g (t ) = 0有三个实数根，g (t ) = 0有三个实数根当且仅当
g (0)＞0，且g (2)＜0，解得－11＜t ＜5．
（4）由题意，当x = ±1，±时，均有－1≤f (x )≤1，故12
－1≤4＋a ＋b ＋c ≤1， ① －1≤－4＋a －b ＋c ≤1，
即－1≤4－a ＋b －c ≤1， ②
－1≤＋＋＋c ≤1， ③ －1≤－＋－＋c ≤1，12a 4b 212a 4b 2
即－1≤－＋－c ≤1， ④12a 4b 2
①＋②得－2≤8＋2b ≤2，从而b ≤－3；
③＋④得－2≤1＋2b ≤2，从而b ≥－3．
代入①②③④得a ＋c = 0，＋c = 0，从而a = c = 0．a 4
下面证明：f (x ) = 4x 3－3x 满足条件．
事实上，f ′(x ) = 12x 2－3 = 3(2x ＋1)(2x －1)，所以f (x )在[－1， －]上单调递增，在[－， ]上单调递减，121212
在[，1]上单调递增，而f (－1) = －1，f (－) = 1，f () = －1，f (1) = 1，所以当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤121212
1．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。