1,0 1, 2,0 1, 2,1 2 ，
n1,0 n,0 ( n 2 )， (6)
n1,m n,m n1,m1 ( n 2,1 m n / 2 )．(7)
由此易得
n,m
1, 当m 0; n m 1 Cn , 当1 m n / 2; m 1 m 0, 当m n/2.
cos n
也就是
cos n
n ein ein 1 i n e ei ， 2 2
1 n n ． cos i sin cos i sin 2
若考虑 x cos ， sin 1 x 2 ， 于是
cos 2 2cos2 1 ，(1) cos3 4cos3 3cos ． (2)
它们都是由余弦 cos 的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的 n 倍角能否用余弦 cos 的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得
cos 4 8cos4 8cos2 1 ，(3) cos5 16cos5 20cos3 5cos ．(4)
Pn ( x)
n n 1 2 2 ． x x 1 x x 1 2



我们又得到 Pn ( x) 的表达式
Pn ( x) cos(n arccos )
这是第一类切比雪夫多项式，第二类切比雪夫多项式可由n倍角余弦公式得到[4]． 方法二：用复数的方法[4]．
ei cos i sin ， ei cos i sin ，
两边相加可以得 cos 的复数表示
cos
进一步以 n 代替 得
ei ei ， 2
Abstract This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of chebyshev polynomial in dealing with practical problems. Key word: orthogonality chebyshev polynomial minimum deviation trigonometric function interpolation Plural he
m 1
记 k 1,m k ,m k 1,m ，那么 2cos(k 1) (1)m k 1,m (2cos ) k 12m ．
m0
即当 n k 1 时猜想也成立．从而对任意正整数n，猜想成立． 以上不仅证明了(5)式对任意正整数 n 成立，而且得到了(5)式中系数 n ,m 的递推公式：
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苏州大学本科生毕业设计（论文）
1 问题的来源及起源 1.1 前言
以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，182l 一 1894)的名字命 名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式 Tn ( x) 和 U n ( x) (简称切比雪夫多项式)， 源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多 项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等 的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用[2]． 在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未有过 多的了解．详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一件不可多得的再次学习机 会，因此着手写这篇论文．本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方面导 出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用．
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浅谈切比雪夫多项式
数学与应用数学（师范）2008 级 石晓萌 0807402049
指导老师 刘长剑
摘
要 本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质 做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系， 并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用． 关键词：切比雪夫多项式 三角函数 复数 正交性 最小偏差 插值
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苏州大学本科生毕业设计（论文）
Pn ( x) cos(n arc cos )
1 x i 1 x2 2


n
x i 1 x2
，
n
此时 x 1,1 ． 而对 x 1时，上式也有意义． 由于 1 x 2 i x 2 1 ，因此
观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2 cos 的首系 数为1的、次数等于公式左边 的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测 2 cos n 也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明． 猜想
2cos n (1)m an,m (2cos )n2 m ，( n N ; m N ) (5)
1.2 切比雪夫多项式的源来
我们用以下几种方法来求得切比雪夫多项式． 方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余 弦的 n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现 cos n 都是关 于2 cos 的首项系数为1的、次数等于 的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进 一步得到 cos n 的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进 一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式． 在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦 cos n 是众所周知的偶函数，它 的倍角公式如：
sin k sin sin(k 1) sin cos(k 1) sin sin
s i kn ( 1) s i n kc os
2
c o s (
1 )
s i n
cos(k 1) cos cos k cos cos(k 1) (1 cos2 )
ent n/3 m 1
上式可由数学归纳法证明．从而(5)式可改写为：
2cos n (2cos )n
(1)
5
m
n m1 Cnm1 (2cos ) n 2 m ，(9) mLeabharlann 苏州大学本科生毕业设计（论文）
(9)式称为 n 倍角余弦公式．
cos n 2n1 (cos )n n2 (cos )n2 n4 (cos )n4 …，
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Discussion on the chebyshev polynomials
Mathematics and Applied Mathematics (normal school) ShiXiaomeng Supervisor 0807402049 Liu Changjian
其中 i 为正整数．
,1 ， 0, ．因 因为余弦 cos 在 0, 上单调，对应值为 1 降到 1 ，即 cos 1
此存在反函数，若令 cos x ，则 arccos x ， x 1,1 ， 0, ．因此，在余弦 n 倍角 公式中令 arccos x ， 0, ， x 1,1 ，则倍角公式为
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苏州大学本科生毕业设计（论文）
目录 1 问题的来源及起源…………………………………………………………………1 1.1 前言…………………………………………………………………………...4 1.2 切比雪夫多项式的来源……………………………………………………..4 2 切比雪夫多项式的概念及性质…………………………………………………....8 2.1 第一类切比雪夫多项式及性质……………………………………………...8 2.2 第二类切比雪夫多项式及性质……………………………………………10 3 两类切比雪夫多项式的关系……………………………………………………...11 4 切比雪夫多项式的应用…………………………………………………………...13 4.1 切比雪夫多项式插值………………………………………………………13 4.2 幂级数项数的节约…………………………………………………………14 结束语……………………………………………………………………………….15 参考文献…………………………………………………………………………….16
T0 ( x) 1 ， T1 ( x) x ， T2 ( x) 2 x 2 1 ， T3 ( x) 4 x3 3x ， T4 ( x) 8x 4 8x 2 +1，
T5 ( x) 16 x5 20 x3 +5x ， T6 ( x) 32 x6 48x 4 +18x 2 1 ．
cos(n arccos x) 2n1 cos(arccos x) n2 cos(arccos x)
n n 2
n4 cos(arccos x)
n 4
…
2n1 xn n2 xn2 n4 xn4 …．
于是 cos(n arccos x) 首项系数为 2n 1 的多项式，各项系数是整数，符号依次变化， x 的幂 依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零． 若记 cos(n arccos x) = Tn ( x) ，则 Tn ( x) 满足， Tn ( x) 2 xTn1 ( x) Tn2 ( x) ， Tn ( x) 称为切比雪 夫多项式．从递推关系可以得到：