“数学归纳法”中的三个问题
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绍兴市稽山中学孔莉群骆永明
参加课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。

在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。

在听课和讨论的过
程中，想的最多的是以下三个问题：
1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？
讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。

甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。

这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。

我想“数学归纳法”也不会例外。

首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。

众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：
（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；
有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：
P(1)真? P(2)真? P(3)真?…? P(k)真? P(k+1)真?…
因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。

纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，
从这个意义上讲，它是归纳的。

当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……
命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。

然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。

举个例子，写记叙文，有“顺叙”和“倒叙”。

把后发生的事情写在前面，把先
发生的事情写在后面，叫“倒叙”，但在“倒叙”的一个局部(如上课)，仍必然按时间顺序写——先写老师走进教室，再写讲课，再写下课。

如果统统倒过来:下课，讲课，老师走进教室，谁能看得明白?这个局部的“顺叙”，不能妨碍我们说文章从整体上讲
是“倒叙”。

所以这种证明方法叫做“数学归纳法”（mathematical induction）， mathematical 除了可以翻译成“数学的”之外，还可以翻译成“精确的”，不妨把“数学归纳法”称作“精确的归纳法”，它的本质是归纳，而演绎是其灵魂，是一种美妙而独特的数学方法。

教材把数学归纳法放在第二章的第三节，也就是1-2节“合情推理与演绎推理”之后，是很有深意的。

可以看出新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。

2．学习数学归纳法的必要性在哪里？
学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归
纳法。

笔者认为，数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。

如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？所谓“不愤不启，不悱不发”，学生如果没有经历“愤悱”的痛苦，教师的“启发”就显得单薄无力。

所以关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。

有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办法，来克服不完全归纳的局限呢?至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。

它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。

3．数学归纳法的教学重心是什么？
数学归纳法是数学中的“大法”。

由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性
理解”。

数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。

人类文明花了两千年才认识到“从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，在教学中企图一步到位地实现所谓“透彻地理解”是不现实的[1]。

苏步青先生指出中学数学教学有时要“混而不错”。

“不错”是大前提，关注的是大方向、本质。

“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。

用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。

第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。

每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性。

数学归纳法的原理对学生讲不清楚，但学生对数学归纳法本身有了一定的认识，正好用此法把原理“混”过去，使学生在直观上对其基础有个感性认识。

历史上的归纳公理正是吸收了数学归纳法思想的精髓后才形成的。

这样一种处理方式是一种“混而不错”的处理法。

“淡化形式，注重实质”其实关注的是思想的发生、发展。

在李柏青老师耐心细致的启发下，学生自己理解了由k到k+1的递推性：n=1真?n=2真，由n=2真?n=3真，由n=3真?n=4真，……即保证若n取任意一个值时结论为真，能推出n取下一个值时结论也为真；即假设n=k时结论成立，能推出n=k+1时结论也为真。

保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立，由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去。

应该说学生已经领悟到了数学归纳法的精髓。

数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障
碍克服后的反思，又促进对原理的理解。

[2]
参考文献：
[1]徐章韬基于数学史的数学归纳法的教学案例设计数学通讯(2008年第7
期)
[2]王琛“数学归纳法”两种教学思路的比较与启示数学教学(2002年第3
期)。