问题情境一 大球中有5个小球，如何判断是绿球还红球？
问题情境二
很傻很天真
聪明 观察归纳猜想
一 二 三…
等差数列通项公式的推导过程
a1 (首项） a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d ...... an a1 (n 1)d 其中n N *
2 22 23
2k
1 2k 1
1
1
1
k
1
2 2
1 1
1 1 k1 2
即n=k+1时，命题成立 新疆 王新敞 奎屯
2
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
自我挑战
(1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，就是
1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：
用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．
2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,
证明当n＝k＋1时结论也正确．
这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基 础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步， 是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已
两个步骤 一个结论 缺一不可
思维误区警示
求证： 1＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 22 23
＋1 2n
1 (1)n 2
证明：①当n=1时，左边＝ 1
2
,右边＝
1
1
1
2
1 2
，等式成立.
②假设n =k时，有
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
2 22 23
2k
1 (1)k 2
那么，当n=k+1时，有
1＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
如何证明猜想：an
1 n
an . 1 an
是正确的？
⑴ 当n=1时，验证猜想正确。
⑵如果 n=k（k 1，k Z）
时猜想成立，一定能推出
当n=k+1时猜想也成立。
根据⑴和⑵，可知不论有多 少个骨牌都能全部倒下。
根据 ⑴ 和 ⑵ ，可知对所有 的正整数n，猜想都成立。
问题：对于数列an
分析:
a1 1
ak =பைடு நூலகம்
1
k
递推依据
ak+1=
ak 1+ak
=
k
1+
1
k
即n=k+1时，命题成立
=1 k+1
写明结论
根据⑴⑵可知,对n∈N＊,等式成立. 才算完整
方法归纳：
数学归纳法：
验证n=n0时 命题成立。
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n )0 时命题成
立
n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0 )都成立。
•••
逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理,
证明n取所有正整数都成立？
情境三（多米诺骨牌游戏）
如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立?
多米诺骨牌游戏原理
⑴第1块骨牌倒下。
⑵如果第k块（k 1，k Z）
倒下时，一定能导致第k+1块 也倒下。
数列an, 若a1 1, an1
知条件”的作用，在证n＝k＋1时一定要运用它，否则就不
是数学归纳法．
练习：P72
用数学归纳法证明:
1.
1+2+3+…+n
=
1 2
n(n+1)
3.首项是a1 ,公比是q的等比数列的 通项公式是 an=a1qn-1
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分 为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限 于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有 可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推 (递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递 推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类 比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
a2
1 2
,
若a1
a3
1 3
1,
an1 1
1 a4 = 4
a递nan推. 基础不可少， 归纳假设要用到，
猜想数列的通项公式为：an
1 n
结论写明莫忘掉。 (n N*)
递推基础
证明：(1)当n=1时，左边a1+1=
a2=
1
2
,右边=
1
2
,等式成立
(2)假设当n=k+1时，等式成立，即
那么n=k+1时， 1
12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＝1－21k，那么 n＝k＋1 时，
12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＋2k1＋1
＝1－21k＋2k1＋1＝1－22－k＋11 ＝1－2k1＋1.
即n=k+1时，命题成立
递推基础不可少，
根据①②可知,对n∈N＊,等式成立.归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
P76 习题2.1 第1题 P112 复习参考题二
A组 第3题
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
归纳法
归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
①完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
②不完全归纳法:考察部分对象,得到一般结论的推理方法 （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
设置问题，引导探究
问题：对于数列an , 若a1
1, an1
an 1 an
.
（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
解: a1 1
a2
1 2
a3
1 3
1 a4 = 4
猜想数列的通项公式为：an
1 n
(n N*)
验证:
1
a5 = 5
1 a6 = 6
1 a7 = 7
1 a8 = 8
1 a9 = 9