状态方程为 写成
x1 x2
x2 2x1 2x2 2u
x1 x2
0
2
1
2
x1 x2
0
2
u
18
输出
y 1
0
x1 x2
图9-4 例9-3系统的结构图
19
多输入-多输出系统
图9-6 多变量系统
20
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1pu p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p
4. 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和 运用可控性判据和可观性判据。
4
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5. 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控标准形。能对不可控系统进行可控性分解。
6. 正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题 转化为对偶系统的可控性问题来研究。
7. 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、 可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实 现、可观性标准形实现的构成方法。
,B
xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
0
（9-19）
15
系统结构图如图所示
图9-3
16
例9-3
考虑用下列常微分方程描述的系统
y 2 y 2 y 2u
输入为 u ，输出为y 。 试求系统的状态方程和输出方程。
17
解：
取状态变量 x1 y, x2 y
A
a21
a22
a2
n
B
b21
b22
b2
p
an1
an2
ann
bn1
bn2
bnp
22
输出变量方程
y1 c11x1 c12x2 c1nxn d11u1 d1pup y2 c21x1 c22x2 c2nxn d21u1 d2 pup
7
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一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t时0 状态， t 时t0的输入，可确定
时任一变量的运动状况。
t t0
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
。 t
x2
t
如果完全描述一个给定系统的动态行 为需要n个状态变量，那么状态向量 定义为X(t)。
8. 正确理解状态反馈对可控性、可观性的影响, 正确理解 状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
5
9. 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌 握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状 态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
10. 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的 概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统 BIBO稳定的方法。
第九章
状态空间分析方法
1
主要内容
9-1 状态空间方法基础 9-2 线性系统的可控性和可观性 9-3 状态反馈和状态观测器 9-4 有界输入、有界输出的稳定性 9-5 李雅普诺夫第二方法
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引言：前面几章所学的内容称为经典控制理
论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作 一简单比较。
经典控制理论
设计的解析性，与计 算机结合，主要在时 间域进行。
基本要求
1. 掌握由系统输入-输出的微分方程式、系统动态结 构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型的 方法。
2. 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域 和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态 方程计算传递函数的公式。
3. 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换 前、后动态方程各矩阵的关系。
………
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1 , x2 , , xn 为状态变量；
u1 , u 2 , , u p
y1 , y2 , , yq
为输入量； 为输出变量。
21
矩阵形式：
x Ax Βu
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
11. 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和 解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
6
9-1 状态空间方法 基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单 输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采 用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了， 为系统的分析研究提供了有力的工具。
现代控制理论
(20世纪50年代前) (20世纪50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)
线性代数、矩阵理论
设计方法的 特点
非唯一性、试凑成 分多, 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。 3
i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 c
x1
写成
x
R L
1
C
1 L 0
x
1 L 0
u
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y n an1 y n1 an2 y n2 a0 y u
若给出 (t=0) 时的时初就值可确定y(0、系) 统y的(、0行) …为。、 y(n1) (0和)
X t
xn t
： 状态空间 由 X(张t) 成的n维向量空间。
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一 个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间 中的一条轨迹。
9
例9-2
• 设一RLC网络如图所示。
回路方程为
e(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
1 C
i(t)dt
图9-2 RLC网络
10
选择状态变量
x1(t) i(t) , x2 (t) i(t)dt
则有
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e
x2 x1
写成 输出
R
x
L
1 CL
x
1 L
u
1 0 0
1 y(t) c(t) C11x2
0
1 C
x
若选另一组状态变量
x1(t) i(t) ,
1 x2 (t) C
u t ,t 0
选取状态变量
x1 y, x2 y, , xn yn1
13
x1 x2 x2 x3 xn1 xn xn a0 x1 a1x2 an1xn u （9-17）
14
或写成
x Ax Bx
0 1 0 0
0
x1
x2
0
0
1
0
0 0
x
,A