第九章
状态空间分析方法
第9章 状态空间分 析方法
基本要求 9-1 状态空间方法基础 9-2 线性系统的可控性和可观性 9-3 状态反馈和状态观测器 9-4 有界输入、有界输出的稳定性 9-5 李雅普诺夫第二方法
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引言：前面几章所学的内容称为经典控制理
论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作 一简单比较。
x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p
………
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1 , x2 , , xn 为状态变量；
u1 , u 2 , , u p
y1 , y2 , , yq
为输入量； 为输出变量。
y2 c21x1 c22x2 c2nxn d21u1 d2 pup
……….
X t
xn t
状态空间：由X (张t) 成的n维向量空间。
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一 个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间 中的一条轨迹。
例9-2
• 设一RLC网络如图所示。
回路方程为
e(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
1 C
i(t)dt
图9-2 RLC网络
选择状态变量
0 0
x
,A
,B
xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
0
（9-19）
系统结构图如图所示
图9-3
例9-3
考虑用下列常微分方程描述的系统 &y& 2 y& 2 y 2u
输入为 u ，输出为y 。
试求系统的状态方程和输出方程。
解：
取状态变量 x1 y, x2 y&
基本要求
① 掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态 结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模 型的方法。
② 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域 和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态 方程计算传递函数的公式。
③ 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换 前、后动态方程各矩阵的关系。
矩阵形式：
x& Ax Βu
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
A a21
a22
a2n
B b21
b22
b2
p
an1
an 2
ann
bn1
bn 2
bnp
输出变量方程
y1 c11x1 c12x2 c1nxn d11u1 d1pup
⑧ 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解 状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
⑨ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌 握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状 态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的 概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO 稳定的方法。
x1(t) i(t) x2 (t) i(t)dt
则有
x&1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e
x&2 x1
写成 输出
R
x&
L
1 CL
x
1 L
u
1 0 0
1 y(t) c(t) C x2
0
1 C
x
若选另一组状态变量
x1(t) i(t)
1 x2 (t) C i(t)dt
⑪ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和 解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
9-1 状态空间方法 基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单 输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采 用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了， 为系统的分析研究提供了有力的工具。
状态方程为 写成
x&1 x2
x&2 2x1 2x2 2u
xx&&12
0
2
1
2
x1 x2
0
2
u
输出
y 1
0
x1 x2
图9-4 例9-3系统的结构图
多输入-多输出系统
图9-6 多变量系统
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1pu p
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一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t0时状态， t 时t0的输入，可确定
时任一变量的运动状况。
t t0
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
。 x1(t), , xn (t)
状态向量：
x1 t
x2
t
如果完全描述一个给定系统的动 态行为需要n个状态变量，那么状态 向量定义为X(t)
则有
x&1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 c
x1
写成
x&
R L
1
C
1 L 0
x
1 L 0
u
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y n an1 y n1 an2 y n2 a0 y u
若给出 (t=0) 时的初值y(0) 、y(0) 、… 、y(n1) (0) 和
ut , t 0 时就可确定系统的行为。
选取状态变量
x1 y, x2 y, , xn yn1
x&1 x2 x&2 x3
M x&n1 xn
x&n a0 x1 a1x2 an1xn u （9-17）
或写成
x& Ax Bx
0 1 0 0
0
x1
x2
0
0
1
0
经典控制理论 (50年代前)
现代控制理论 (50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)
线性代数、矩阵理论
设计方法的 特点
非唯一性、试凑成 份多, 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。
设计的解析性，与计 算机结合，主要在时 间域进行。
④ 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和 运用可控性判据和可观性判据。
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⑤ 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。
⑥ 正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题 转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦ 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、 可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实 现、可观性标准形实现的构成方法。