几何图形综合题1.已知：在等边△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD ＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H .(1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ； (2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长．第1题图(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA )； (2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD，∴△ABE ≌△BCD (ASA )， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，第1题解图∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8， ∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ， ∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK， ∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4， 又∵HM ∥AC ， ∴△HMG ∽△KCG ， ∴HM KC ＝MG CG， 即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407，∵EK ∥BD ， ∴△GBP ∽△GEK ， ∴BP EK ＝GB GE， ∴BP ＝261315.2. 如图①，在四边形ABCD 中，点P 是AB 上一点，点E 在射线DP 上，且∠BED ＝∠BAD ，连接AE .(1)若AB ＝AD ，在DP 上截取点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，求证：△ABE ≌△ADF ；(2)如图②，若四边形ABCD 是正方形，点P 在AB 的延长线上，BE ＝1，AE ＝32，求DE 的长；(3)如图③，若四边形ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，点P 在AB 的延长线上，AE ＝5BE ，若AE =nDE ，求n 的值.图① 图② 图③第2题图(1)证明：∵∠BED ＝∠BAD ，∠BPE ＝∠DP A ， ∴∠ABE ＝∠ADF ，又∵AB ＝AD ，BE ＝DF ， ∴△ABE ≌△ADF ；(2)解：如解图①，延长ED 到点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，第2题解图①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ， ∴∠ABE ＝∠ADF ， ∵BE ＝DF ，AB ＝AD ， ∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，第2题解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AF AE DF BE AD AB ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF =5AE ，∵AE ＝5BE ，∴EF ＝5AE ＝5·5BE ＝5BE ，∴DE＝EF－DF＝5BE－2BE＝3BE，3.已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC 于点F，点H是线段AF上一点.(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的HF图①图②图③第3题图解：(1)过点D作DG∥BC交AC于点G，第3题解图①∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，∴AD=GD，由题意知CE=AD，∴CE =GD ∵DG ∥BC ，∴∠GDF =∠CEF ， 在△GDF 与△CEF 中， GDF CEF GFD EFC CE GD ⎧⎪⎨⎪=∠=∠∠∠⎩=， ∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ， ∵DH ⊥AG ， ∴AH =GH ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ，∴ACHF=2； (2)如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，第3题解图②由题意知，点D ，E:1，∴ADCE =∵∠ABC =90°，∠BAC =30°，∴ADGD = ∴，AD AD CE GD = ∴GD =CE ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF =∠CEF ，在△GDF 和△CEF 中， ，GDF CEF GFD EFC GD CE ∠=∠∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩= ∴△GDF ≌△CEF （AAS ）， ∴CF =GF ，∵∠ADH =∠BAC =30°， ∴AH =HD ，∵∠AGD =∠HDG =60°， ∴GH =HD ， ∴AH =HG ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ，∴ACHF=2； (3)如解图③，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，第3题解图③∵DG ∥BC ，∴△AGD ∽△ACB ，∴=，GD BCm AG AC =∵∠ADH =∠BAC =36°，AC =AB ， ∴∠GHD =∠HGD =72°， ∴GD =HD =AH ， ∴=，AH GDm AG AG = ∵AD =CE ， ∴==，GD GD GDm AD AG CE = ∵DG ∥BC ，∴△GDF ∽△ECF ， ∴=，GD GFm CE CF= ∴GH +FG =m （AH +FC ）=m （AC -HF ）， 即HF =m （AC -HF ）， ∴1.=AC m HF m+ 4. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一点，连接EM 并延长交线段CD 的延长线于点F . (1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，若MG =nME ，求n 的值.第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FDB AM ＝DM∠AME ＝∠DMF， ∴△AEM ≌△DFM (ASA )；(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，第4题解图①∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点，∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ， 在△AEM 和△HMG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝GH ∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ，FMG EMG ≌△△∴，∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，第4题解图②∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AM GH， 在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MG EM＝ 3. ∴n =35.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1)如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP ＝AQ 时，求证： △BPE ≌△CQE ；(2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时， ①求证：△BPE ∽△CEQ ；②当BP ＝2，CQ ＝9时，求BC 的长．第5题图(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝45°， 又∵AP ＝AQ ， ∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC .∴在△BPE 与△CQE 中， ∠∠BP CQ B C BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△BPE ≌△CQE (SAS )；(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°， ∴∠CQE ＝∠BEP ， ∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；②解：由①知△BPE ∽△CEQ ， ∴BE BP CQ CE =， ∴BE ·CE ＝BP ·CQ ， 又∵BE ＝EC ，∴BE 2＝BP ·CQ ，∵BP ＝2，CQ ＝9， ∴BE 2＝2×9＝18， ∴BE ＝32，∴BC ＝2BE ＝6 2.6.已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F .(1)如图①，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求证：△BCF ≌△ABE ； (2)如图②，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，AG ＝nCG ，求n 的值.第6题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ， 在△BCF 和△ABE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠ABE BC ＝AB∠CBF ＝∠BAE， ∴△BCF ≌△ABE (ASA )；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)解：如解图，连接EF ，第6题解图∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∴CE ＝CF ，同(1)得△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(2)得A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠BOG ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°， ∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE＝2， ∴AG ＝ 2 CG ， ∴n = 2 .7.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC . (1)求证：△ABE ≌△CBE ；(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积； (3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．第7题图(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS )；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，第7题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55， ∴AO ＝OC ＝5， ∴BO ＝OD ＝25，∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ， 即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BPBP ， 即AP PE ＝5＋22＝72， ∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP， ∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE ×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，第7题解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE， ∴5BP ＝535， ∴BP ＝15.8.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADAE＝n .(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB的值；(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．第8题图(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ， ∴∠EAF ＝∠EF A ， ∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°， ∴∠FGA ＝∠EFG ， ∴EG ＝EF ， ∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，第8题解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°， ∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°， ∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC， ∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2， ∵AB ＞0， ∴AB ＝n a ， ∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n4a ，如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .第8题解图②此时n4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上， ∴∠FCG ＜∠BCD ， ∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB＝n ，即4ABAB＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，第8题解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°， ∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE . ∵∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DGC ， ∴AB DG ＝AE DC， ∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ， ∴AB ·DC ＝DG ·AE ， 即(n4a )2＝(n －2)a ·a ， 解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．9.如图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．第9题图解：(1)PM＝PN，PM⊥PN；【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM//CE且PM=12CE，PN∥BD且PN=12BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°，∴PM⊥PN；(2)△PMN为等腰直角三角形．理由如下：由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，∴PM是△CDE的中位线，∴PM∥CE且PM=12 CE，同理PN∥BD且PN=12 BD，∴PM＝PN，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴△PMN 为等腰直角三角形； (3)492.【解法提示】∵△PMN 为等腰直角三角形， ∴S △PMN ＝12PM 2，要使△PMN 的面积最大，即PM 最大，由(2)得，PM ＝12CE ，即当CE 最大时，PM 最大．如解图，当点C 、E 在点A 异侧，且在同一条直线上时，CE 最大，此时CE ＝AE ＋AC ＝AD ＋AB ＝14，第9题解图∴PM ＝12CE ＝12×14＝7，故△PMN 的最大面积为S △PMN ＝12×7×7＝492.10.如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长．第10题图解：(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，第10题解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2， 即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形． 证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，第10题解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EM AB， ∵AB ＝5，∴445-，x x=解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43， ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ， 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC， ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S AEMF 菱形＝6OE 2， 又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。