三角形中位线证明线面平行使用条件及运用方式
一、学习目标：
1、理解线面平行证明的基本定理，通过一组线线平行证明出题目需要的线面平行
2、重点：根据题目给出的中点条件，构造三角形的中位线得出线线平行
3、难点：中位线对应的三角形的构造
二、学习过程：
1、基本概念及定义
线面平行判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 如图：
即⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄a l a l //αα⇒l ∥α 由上定理可知，证明线面平行，终归到底是线线平行的证明，而高考中的考查重点及难点就在于如何在平面上找到与该直线平行的直线，由不同题目提供的不同条件，我们需要使用不同的方法，其中一种方法就是构造三角形中位线，使定理中的l 和a 刚好成为三角形的一条边和与之平行的中位线
三角形中位线运用
运用条件：存在一条直线（设为l 0）同时与直线l 和平面α有交点，设为A 、B ，E 在直线l 上，并且A 为BE 中点
图（1） 图（2）
解法：C 为l 上任意一点，连结CE 交平面α于点D ，如图（2）
易证D 为CE 中点，所以由⎩⎨⎧中点
为中点为CE D BE A 得AD ∥BC 从而证出BC ∥平面α
在具体题目中，以上的大部分点为题目中的已知点，而直线CE和D点则通常是我们需要作出的辅助线和辅助点
2、例题讲解
例题：
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E是PD的中点.
证明：PB∥平面AEC；
解析：在题目的具体运用上，我们可以先在找出平面AEC中是否存在某条线段的中点，易知可找出E为PD中点，并且可以发现我们需要证明的直线PB与PD 交于P点，此时可尝试以PB和PD构造出一个三角形，以此为思考的切入点连结BD与AC交于点O，连结EO
∵在矩形ABCD中，O为BD中点，且已知E为PD中点
∴PB∥OE又∵OE⊂面AEC
∴PB∥面AEC
3、随堂训练
（1）如图，四边形CDEF为矩形，M为EA
的中点，求证：AC∥平面MDF
证：设EC与DF交于点N，连结MN，
在矩形CDEF中，N为EC的中点
因为M为EA的中点，所以MN∥AC，
又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF
所以AC∥平面MDF
（2）已知四棱锥P－ABCD的底面是矩形，
侧面P AD是等边三角形，E为线段PD的中点，
证明：PB∥平面AEC
证明：连结BD交AC于点F，连结EF
因为底面ABCD为矩形
所以F为BD中点
又因为E为PD中点，所以EF∥PB
又因为PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC
所以PB∥平面AEC
4、课堂小结
总结：要证明直线与平面以外，存在一个点，并且有一条直线经过这个点、线、面，此时的常见做法，再作一条直线，同样经过该点、线、面，连结平面上的两个交点，得出一条在面上的并且与直线平行的直线
5、课后巩固练习
（1）在长方体AC1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E为D1C1的中点，如图所示，证明：BD1∥平面B1EC
证：连结BC1交B1C于点M
∵四边形B1BCC1为矩形
∴M为BC1中点
又∵E为C1D1中点∴EM∥BD1
又∵EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC
∴BD1∥平面B1EC
（2）如图所示，在棱长为2的正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上，且DP＝BQ＝1，证明：直线BC1∥平面EFPQ
三、
四、。