备课偶得——
三角形中位线定理的再证明
王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。
笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC
且
证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC
∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF
为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD
∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形
∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且
证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF
∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD
∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE
∴DE=EF ∴D E ∥BC 且
证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则
∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点
∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF
即 ∴DE ∥BC 且
图1 B
C
A
D
E
图2
B
C
A
D
E
F
图3
B
C
A
D E
F
C
图4
B
A
D
E
F E ′ 图5
B
C
A
D
E
1
2
DE BC =1
2
DE BC =1
2DE BC =12
DE BC =1
2DE BC =
证法四、（相似法）如图5，
∵D 、E 分别为AB 、AC 中点 ∴ ∵∠A=∠A
∴△AD E ∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 且
证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC 的中点E 为中心，将△ABC 绕点E 旋转180°得△ACF ，取CF 中点G ，连结EG 、DG ，则四边形ABCF 为平行四边形
∴
AF BC ∵D 、G 分别为AB 、CF 的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF 为平行四边形
∴DG AF BC ∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE ≌△CGE （SAS ）
∴∠AED=∠CEG ∴D 、E 、G 在一条直线上 ∴DE ∥BC ∵△ADE ≌△CGE
∴DE=EG ∴ ∴DE ∥BC 且
证法六、（面积法）如图7，取BC 中点F ，连结AF 、EF ，分别过A 、E 作
A H ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别为H 、G ，过D 作DM ⊥BC 于M ，则
∴ ∵F 为BC 中点 ∴ 同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE 为矩形
∴DE ∥BC 同理 EF ∥AB ∴四边形DBFE 为平行四边形
∴DE=BF ∵ ∴DE ∥BC 且 证法七、（解析法）如图8，以点B 为坐标原点，建立如图所示平面
直角坐标系，不妨设A （a ，b ）C （c ，0）（c ＞0）则，D （ ），E （ ）
则DE ∥x 轴，DE= ∵BC=c ∴DE ∥BC 且
证法八、（三角法）如图9，取BC 中点F ，连结EF ，设AB=2c ，AC=2b BC=2a ，∠A=α则AD=c ，AE=b ，在△ADE 中，
在△ABC 中，
图6
B C
A
D
E
F
G H G
图7
B
C
F M A
D
E
1
2
AD AE AB AC ==1
2
DE
AD
BC AB ==12
DE BC =1
2
DE BC =12
DE BC =,ABF ACF AEF CEF S S S S ==1
4CEF ABC
S S =12CF BC =111242CF EG BC AH =⨯1
2
DM AH =1
2
BF CF BC
==12
DE BC =12
EG AH =,22
a b
,22
a c
b +222
a c
a c +-=12
DE BC =22
2222cos 2cos AD AE A bc c b DE AD AE α=+-=+-2
2
2
2
2
2cos 2(2)(2)cos (2)(2)AB AC A c b c b BC AC
AB α=+-=+-⨯⨯
∴ ∴BC=2DE ∵F 为BC 的中点 ∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE 为平行四边形
∴DE ∥BF 即DE ∥BC 且
图9
B
C
A
D E
F 22
4(2cos )bc c b α
=+-2
2
4BC DE =1
2
DE BC =。