三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1: 如图所示,延长中位线DE 至F,使 ,连结CF,则 ,有ADFC,所以FCBD,则四边形BCFD 就是平行四边形,DFBC 。
因为 ,所以DEBC 21.法2:如图所示,过C 作交DE 的延长线于F,则,有FCAD,那么FC BD,则四边形BCFD 为平行四边形,DFBC 。
因为,所以DEBC 21.法3:如图所示,延长DE 至F,使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形,有ADCF,所以FCBD,那么四边形BCFD 为平行四边形,DF BC 。
因为 ,所以DEBC 21.法4:如图所示,过点E 作MN ∥AB,过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形,易证CEN AEM ∆≅∆,从而点E 就是MN 的中点,易证四边形ADEM 与BDEN 都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE ∥BC,即DEBC 21。
法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的就是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。
⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别就是AB、AC 的中点,线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴:⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化？上述结论仍然成立不?C图⑵:说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别就是数量关系,而想到去度量、验证与猜想,水到渠成、如果教师直接叫学生去度量角度与长度,就是强扭的瓜不甜、2、教学重点:本课重点就是掌握与运用三角形中位线定理。
第一,要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。
第二,要知道中位线定理的使用形式,如:∵ DE 就是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC,BC DE 21第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握与运用三角形中位线定理。
题1 如图4、11-7,Rt△ABC,∠BAC＝90°,D、E 分别为AB,BC 的中点,点F 在CA 延长线上,∠FDA＝∠B、(1)求证:AF ＝DE;(2)若AC ＝6,BC ＝10,求四边形AEDF 的周长、分析 本题就是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形与平行四边形有关性质的能力。
(1)要证AF ＝DE,因为它们刚好就是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF 就是平行四边形、因为DE 就是三角形的中位线,所以DE∥AC、又题给条件∠FDA＝∠B,而在Rt△ABC 中,因AE 就是斜边上的中线,故AE ＝EB 、从而∠EAB ＝∠B、于就是∠EAB＝∠FDA、故得到AE∥DF、所以四边形AEDF 为平行四边形、ED AC(2)要求四边形AEDF 的周长,关键在于求AE 与DE,AE ＝21BC ＝5,DE ＝21AC＝3、证明:(1)∵D、E 分别为AB 、BC 的中点, ∴DE∥AC ,即DE∥AF∵Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,BE＝EC∴EA＝EB ＝21BC,∠EAB＝∠B又∵∠FDA＝∠B, ∴∠EAB＝∠FDA∴EA∥DF,AE DF 为平行四边形 ∴AF＝DE(2)∵AC＝6,BC ＝10,∴DE＝21AC ＝3,AE ＝21BC ＝5∴四边形AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16题2 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝CD,E 、F 分别就是BC 、AD 的中点,延长BA 与CD 分别与EF 的延长线交于K 、H 。
求证:∠BKE＝∠CHE、分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质、由中点想到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD,找BD 中点G,则EG 、FG 分别为△BCD、△DBA 的中位线,于就是得到了解题方法、考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好、证明:连BD 并取BD 的中点G,连FG 、GE 在△DAB 与△BCD 中∵F 就是AD 的中点,E 就是BC 的中点∴FG∥AB 且FG ＝21AB,EG∥DC 且EG ＝21DC∴∠BKE＝∠GFE ,∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE题3 如图, ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,O 为AC 、BD 的交点,P 、R 、Q 分别为AO 、DO 、BC 的中点,∠A OB ＝60°。
求证:△PQR 为等边三角形、分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。
利用条件可知PR ＝21AD,能否把PQ 、RQ 与AD(BC)联系起来成为解题的关键,由于∠AOB＝60°,OD＝OC,则△ODC 为等边三角形,再由R 为OD 中点,则∠BRC＝90°,QR 就为斜边BC 的中线、证明:连RC,∵四边形ABCD 为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD又∵DC 为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC 为等腰三角形 ∵∠DOC ＝∠AOB＝60° ∴△ODC 为等边三角形 ∵R 为OD 的中点∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也就是底边上的高)∵Q 为BC 的中点 ∴RQ＝21BC ＝21AD 同理PQ ＝21BC ＝21AD在△OAD 中 ∵P、R 分别为AO 、OD 的中点∴PR＝21AD ∴PR＝PQ ＝RQ故△PRQ 为等边三角形3、教学难点:本课难点就是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何添加辅助线.教师可以在证明思路上进行引导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。
例如,教师可以启发学生:要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。
上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段与、差、倍、分等方面。
证明线段的与、差、倍、分常用的证明策略:1, 长截短:要证明一条线段等于另外两条线段的与与差,可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。
(角也亦然)2, 短延长:要证明一条线段等于另外两条线段的与与差,可先延长较短的一条线段,得到两条线段的与,然后再证明其与长的线段相等。
(角也这样)3, 加倍法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。
(角也这样)4, 折半法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。
(角也可用)5, 代数运算推理法:这种方法就是利用代数运算证明线段或角的与、差、倍、分。
6, 相似三角形及比例线段法:利用相似三角形的性质进行推理论证。
题1(短延长):如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点。
(1)若∠PAQ=45°,求证:PB+DQ=PQ。
(2)若△PCQ的周长等于正方形周长的一半,求证:∠PAQ=45°Q证明:(1)延长CB 至E ,使BE=DQ ,连接AE 。
∵四边形ABCD 就是正方形 ∴∠ABE=∠ABC=∠D=90°,AB=AD 在△ABE 与△ADQ 中 ∵AB=AD ,∠ABE=∠D ,BE=DQ∴≅∴=∠=∠∠=∴∠+∠=∴∠+∠=∠=∠=∆∆ABE ADQAE AQ BAE QAD PAQ BAP QAD BAP BAE EAP PAQ ，°°°，即°45454545在和中，，即∆∆∆∆AEP AQP AE AQ EAP PAQ AP AP AEP AQP EP PQEP EB BP DQ BP PQPB DQ PQ =∠=∠=∴≅∴=∴=+=+=+=Q(2)延长CB 至E ,使BE=DQ ,连接AE 由(1)可知∆∆ABE ADQ ≅∴=∠=∠∴∠+∠=∠+∠=∴++=+∴=-+-=+=+====∴≅∴∠=∠=AE AQ BAE QADDAQ BAQ BAE BAQ PCQ PCQC QP BC CDPQ BC PC CD QC BP DQ BP EB EP AEP AQP AE AQ EP PQ AP AP AEP AQPEAP PAQ ，°的周长等于正方形周长的一半在和中，，°9045 ∆∆∆∆∆()()题2(长截短):如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,∠A 的平分线AD 交BC 于D 。
求证:AC=AB+BD三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方证明:在AC上截取OA=AB,连接OD,∵∠3=∠4,AD=AD∴△ABD≌△AOD,∴BD=DO∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C∴∠2=∠C∴OD=OC=BD∴AC=OA+OC=AB+BD。