高三数学共4页第1页崇明区2018学年第一次高考模拟考试试卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．计算：20lim31nn n ▲　．2．已知集合12xxA，{1,0,1,2,3}B，则A B∩▲　．3．若复数z 满足232z zi ，其中i 为虚数单位，则z▲　．4．821xx的展开式中含7x 项的系数为▲　（用数字作答）．5．角的终边经过点(4,)P y ，且3sin5，则tan ▲　．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24yx 上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是▲　．7．圆22240xyx y 的圆心到直线3450x y的距离等于▲　．8．设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于▲　．9．若函数2()log 1x af x x 的反函数的图像过点(3,7)，则a▲　．10．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有▲　种．11．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f ，(2)2f ，则不等式组121()2x f x ≤≤≤≤的解集为▲　．12．已知数列{}n a 满足：①10a ，②对任意的*nN 都有1nn a a 成立．函数1()sin()n n f x xa n ，1[,]n n x a a 满足：对于任意的实数[0,1)m ，()n f x m 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是▲　．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0ab ，则下列不等式恒成立的是高三数学共4页第2页(A)11ab(B)a b(C)22ab(D)33ab14．“2p”是“关于x 的实系数方程210xpx 有虚数根”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件15．已知向量a b c ,,满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b 、b c 、a c 中最小的值是(A)a b (B)b c(C)a c(D)不能确定的16．函数()f x x ，2()2g x xx ．若存在129,,...,0,2nx x x ，使得1()f x 2()...f x 1()n f x ()n g x 1()g x 2()...g x 1()n g x ()n f x ，则n 的最大值是(A) 11(B) 13 (C) 14(D) 18三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，设长方体1111B ABC A C DD 中，2ABBC，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4．（1）求三棱锥1A A BD 的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数23()cos sin 3cos 2f x x xx．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1()2f A ，3,4a b，求ABC △的面积．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）高三数学共4页第3页的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()yf x 时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立．）（1）判断函数()1030x f x 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()5g x a x (1)a ≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）已知椭圆2222:1(0)x y a bab，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B △是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是1,1（）时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；（3）设点R 满足：11RB PB ，22RB PB ．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列n a ,n b 均为各项都不相等的数列，n S 为n a 的前n 项和，11()n nn a b S n N ．高三数学共4页第4页（1）若11,2nn a b ，求4a 的值；（2）若n a 是公比为q (1)q的等比数列，求证：数列11nb q为等比数列；（3）若n a 的各项都不为零，n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d．崇明区2018学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准一、填空题1.13；2.{0,1}；3.12i ；4.56；5.34；6.4；7.2；8.33；9.6；10.1518；11.[2,82]；12.(1)2nn n a .二、选择题13.D ；14.B ；15.B ；16.C三、解答题17.解：（1）联结AC ，因为1AA ABCD 平面，所以1ACA 就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分所以14A CA，所以122AA ……………………………………4分所以11114233A BDABDABD A AV V S A A ……………………………………7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//A D B C所以1BA D 就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分在1BA D 中，2221(23)(23)(22)2cos 322323BA D所以12arccos 3BA D……………………………………6分所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3……………………………………7分18.解：（1）23()cos sin 3cos 2f x x x x13sin 2cos2sin(2)223xxx……………………………………3分由222,232kxkk Z ，得：51212kx k高三数学共4页第5页所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212kkk Z …………………………6分（2）1()sin(2)32f A A因为(0,)2A ，所以42(,)333A 所以5236A ，4A……………………………………2分由2222cos 22bc aAbc，得：221c ……………………………………5分因为ABC △是锐角三角形，所以221c ……………………………………6分所以ABC △的面积是1sin 4222ABCSbc A ……………………………………8分19.解：（1）因为525(25)1065f ，即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分（2）因为1a，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分结合函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②，得：1600575a ，所以2a………………………………………………………………4分由函数()g x 满足条件③，得：55x a x对[25,1600]x 恒成立即55x ax 对[25,1600]x 恒成立因为525x x，当且仅当25x时等号成立……………………………………7分所以2a………………………………………………………………8分综上所述，实数a 的取值范围是[1,2]a ……………………………………9分20.解：（1）221164xy………………………………………4分（2）由题意，得：直线1PB 的方程为2yx …………………………………1分由2221164yxx y ，得：21121605,265x x y y …………………………………3分故所求圆的圆心为84(,)55，半径为825………………………………………4分高三数学共4页第6页所以所求圆的方程为：2284128()()5525xy………………………………………5分（3）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx．由11RB PB ，直线1RB 的方程为(2)0x k y ．将2ykx代入221164y x，得2241160kxkx ，因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以Px 21641k k ．……………3分所以21'4P Py k x k…………………………………4分由22RB PB ，所以直线2RB 的方程为42ykx．由(2)042x k y y kx，得2441R k x k ．…………………………………6分所以121220216414441PB B RB B Rk S x k Sx k k ．…………………………………7分21.解：（1）由11,2nn a b ，知2344,6,8a a a .………………………4分（2）因为11n n n a b S ①，所以当2n时，111n n na b S ②，①-②得，当2n 时，11n nn nn a b a b a ③，所以111111n nnnnnna ab b b a a qq，………………………3分所以111111nn b b qqq，………………………5分又因为101nb q （否则n b 为常数数列与题意不符），所以1{}1n b q为等比数列。

………………………6分（3）因为n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n时，1n n n n n a b a b da , 即11nn nn a a b d a ，因为n a ，n b 各项均不相等，所以10,10nna a d,高三数学共4页第7页所以当2n 时，11n n nnb a da a ④,当3n 时，1111nn nn b a da a ⑤,由④-⑤，得当3n时111111n nnnnnnna ab b d a a a a dd⑥,………………………3分先证充分性：即由12d证明23,,,,n a a a 成等差数列,因为12d，由⑥得1111n nn n n n a a a a a a ,所以当3n 时，1111nnnn n na a a a a a ,又0na ，所以11nnnna a a a 即23,,,,n a a a 成等差数列.………………………5分再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d.因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n 时，11nnnn a a a a ,所以由⑥得，11111111n nnnnnnnnn n na a a a d a a a a a a a a d所以12d，………………………7分所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d.…………………8分。