正弦定理、余弦定理在生活中的应用 正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考. 一、在不可到达物体高度测量中的应用 例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶
A 的仰角为θ，求塔高A
B ．
分析：本题是一个高度测量问题，在∆BCD 中，先求
出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出
塔高AB.
解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--．
由正弦定理得
sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠． 所以BC =sin sin CD BDC CBD
∠∠=sin sin()s βαβ+·． 在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠=
tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.
二、在测量不可到达的两点间距离中的应用
例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山
包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，
为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距3km
的C 、D 两点高，测得∠ACB=750， ∠BCD=450
，
∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ）
，试求隧道的长度.
分析：根据题意作出平面示意图，在四边形
ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在∆ACD 和∆BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在∆ABC 中，由余弦定理求出AB. 解析：在∆ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3.
在∆BCD 中，∠CBD==600
由正弦定理可得，BC=003sin 75sin 60=26)2
+
在∆ABC 中，由余弦定理，可得 2222AB AC BC AC BC COS ACB =+-••∠，
22202626)(3)()2237522
AB COS ++=+-⨯⨯⨯=5 ∴AB=5≈2.236km,即隧道长为2.236km.
点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB 的长，可以在∆ABD 中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD 与BD 长，但求AD 不如求AC 容易，另外。

实际问题应求出近似值.
三、在航行中的应用
例3在海岸A 处 ，发现北偏东45
0方向，距A 处31-海里B 处有一艘走私船，
在A 处北偏西750方向，距A 处2海里的C
处的缉私船奉命以103海里/小时的速度
追截走私船，此时走私船正以10海里/小时
的速度从B 处向北偏东0
30方向航行，问缉
私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间.
分析：根据题意作出平面示意图，设在D 处追上走私船，由图知，要求追截方向和时间即求∠DCB 及CD 长度，先用余弦定理求BC 及∠CBA ，从而求出∠ABD ，列出关于追截时间的方程，求出时间，再用余弦定理求出∠DCB.
解析：设在D 处追上走私船，所需时间为t 小时，则CD=103t ，BD=10t
在ABC ∆中，∵BAC ∠=007545+=0120，AB=31-，BC=2，
由余弦定理得 2BC =2222(31)2(31)cos120+--⨯-=6， cos CBA ∠=2222AB BC AC AB BC +-•=22(6)(31)226(31)
+--⨯⨯-=22 又∵0<∠CBA π<，则∠CBA=450
，则BC 为正东西方向， 在BCD ∆中，0
120CBD ∠=，由余弦定理得 2222cos CD BC BD BC CD CBD =+-⨯∠，即
2220(103)(10)(6)2106cos120t t t =+-⨯⨯，解得，6t =或6t =-（舍）， ∴BD=6，CD=32，∴BD=BC ，∴030DCB BDC ∠=∠=，
.
故缉私船沿东偏北300方向追截，所需时间为
10
点评：处理航行问题，一要理解方向角、方位角等概念，二要根据题意画出示意图，根据图将问题转化为三角形边或角的计算问题，利用正余弦定理计算之.
在利用正余弦定理解决实际问题时，一要熟悉仰角、俯角、方向角、方位角等概念，二要能根据题意画出示意图，将问题转化为三角形的边角计算问题，利用正弦定理或余弦定理计算之，注意要为近似值.。