正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东３0°，北偏西45°,西偏北６0°等；(3）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．(4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(２)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．（４)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形（1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2０１2·江苏金陵中学)已知△ＡB Ｃ的一个内角为12０°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__＿_____．解析 记三角形三边长为ａ－4，a ，a ＋4,则(ａ+4)２＝（a －4)2+ａ2－2a (ａ-４）co ｓ 120°,解得a ＝1０，故S ＝12×1０×6×s ｉn 1２０°＝15错误!.答案 1５错误!２．若海上有A ，B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC ＝75°,则B ，Ｃ间的距离是_＿____＿_海里．解析 由正弦定理,知B Ｃsi ｎ 60°＝错误!.解得BC =5错误!(海里)． 答案 5错误!3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行,上午１0时到达一座灯塔P 的南偏西７5°距塔６8海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为_＿＿_____海里/时．解析 由正弦定理,得MN =68si ｎ 120°si ｎ 45°=34＼r(6)（海里)，船的航行速度为错误!＝错误!(海里／时).答案 错误!4.在△ABC 中,若2错误!ａｂs ｉn C =a ２＋b 2+c 2,则△ABC 的形状是_＿__＿＿＿_.解析 由2３ab sin C =ａ２＋b 2＋c 2,a 2+ｂ2－c 2＝2ａb cos C 相加,得a ２＋b ２=2ab sin 错误!.又ａ2＋b ２≥2ab ，所以ｓin 错误!≥1,从而s ｉn 错误!＝1,且a =ｂ，C =错误!时等号成立,所以△ＡBC 是等边三角形.答案 等边三角形５.（2０10·江苏卷)在锐角△A ＢＣ中，角Ａ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ｃ.若错误!＋错误!＝6cos Ｃ,则错误!＋错误!的值是__＿_＿___．解析利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为错误!＋错误!=6cos C,由余弦定理得错误!=6·错误!,即a2+b2=错误!c2.而错误!+错误!=错误!错误!=错误!·错误!＝＼f(ｃ2,ab·＼ｆ(a2+b2-c2,２ab))＝＼ｆ(2c2,a2+b２-c2)=错误!=4.答案4考向一测量距离问题【例1】如图所示,A、Ｂ、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和Ｄ点的仰角分别为７5°,30°，于水面Ｃ处测得Ｂ点和D点的仰角均为６０°，AＣ=０.1 kｍ.(1)求证:ＡB=BD；(2)求BD.(１)证明在△ACＤ中,∠DAC＝30°,∠ＡＤＣ＝60°－∠DAC=３0°，所以CD ＝AC=0．1.又∠BCD＝180°－60°-6０°=60°,故CB是△CAＤ底边AD的中垂线，所以BD＝BA．（２)解在△ABＣ中，ABsin∠ＢCＡ=＼f(AC,sin∠ABＣ）,即AB=错误!=错误!（km)，因此,BD=错误!(km)故B、D的距离约为＼f（32＋＼r（6),20）km．[方法总结］（1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.（3)应用题要注意作答．【训练1】隔河看两目标Ａ与Ｂ,但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C,Ｄ两点，同时测得∠ACB＝７5°,∠ＢCD＝45°,∠ＡDＣ=30°，∠ADＢ＝45°(Ａ,B,Ｃ,Ｄ在同一平面内），求两目标A,Ｂ之间的距离．解如题图所示，在△ACD中,∵∠AＤC=30°，∠ＡCD=120°,∴∠CAD=30°,AC=CD=3（千米).在△BDC中,∠CBD＝180°－45°－75°=60°．由正弦定理,可得BC＝3siｎ75°siｎ６0°＝＼f(６+2,2)（千米)．在△ＡBC中，由余弦定理，可得AB2=AC2＋BC2－2ＡＣ·BＣcos∠BCA,即AＢ２=(3)2＋错误!2－2错误!·错误!cos75°＝5，∴ＡB=错误!(千米）．所以两目标A,B间的距离为错误!千米．考向二测量高度问题【例2】(20１０·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AＥ的高度Ｈ(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABＥ=α,∠AＤE=β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tａnα=1．２4,ｔaｎβ＝1.２０,请据此算出H的值;（2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：ｍ)，使α与β之差较大,可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为１25 m,试问ｄ为多少时,α-β最大?解(1)由AB＝错误!,BD＝错误!,ＡＤ=错误!及AB+BD=AD得错误!＋错误!＝H解得Ｈ＝错误!=错误!=１24．tａnβ因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(２)由题设知d=AB，得tan α＝错误!.由ＡB＝AD－ＢD=错误!-错误!，得tan β＝错误!，所以taｎ(α－β)＝错误!＝错误!≤错误!，当且仅当d=＼f(H(Ｈ-h),d）,即d＝Ｈ(H－h)＝错误!=55错误!时,上式取等号.所以当d＝55错误!时,tan（α－β）最大.因为０<β＜α<错误!,则０<α-β<错误!,所以当d＝５５错误!时，α－β最大.故所求的d是55错误!m.［方法总结] （1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念．(2）分清已知和待求，分析（画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．（3）注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BＣD＝α，∠BDC＝β，ＣD=ｓ，并在点Ｃ测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.解在△ＢCＤ中，∠CＢＤ＝π－α-β,由正弦定理得＼f(BＣ,siｎ∠ＢDC）=错误!,所以BC=错误!=错误!在Ｒt△ＡＢC中，AB=BCｔan∠ACB＝错误!.考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A（＼r(3）－1)kｍ的B处有一艘“敌舰”．在Ａ处北偏西75°的方向，距离A 2 kｍ的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10错误!kｍ/ｈ的速度追截“敌舰”.此时,“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用tｈ在Ｄ处追上“敌舰”,则有ＣD=1０3t,BＤ＝10t,如图在△AＢC中，∵AB=错误!－１,ＡC=2，∠BAC＝120°,∴由余弦定理,得BＣ2=AB2＋AC２－２AB·AC·cos∠BＡC=（3－１)2+2２－2·（３－1)·2·cos 120°＝６∴BC=错误!，且sin∠ABC=错误!·siｎ∠ＢAC＝错误!·错误!=错误!．∴∠ABC=４5°,∴BC与正北方向垂直.∴∠CBD=90°+3０°=120°,在△ＢＣD中,由正弦定理,得ｓin∠BＣD=错误!＝错误!＝错误!，∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”.[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤:第一步:将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中.第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形.第四步：将所得结果转化为实际问题的结果.【训练３】（2０1３·广州二测)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西6０°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里／时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用２小时追上,此时到达C处. (1）求渔船甲的速度;(２)求ｓinα的值.解（1)依题意知,∠BAC＝12０°，AＢ=12(海里）,AC=10×2＝20(海里）,∠ＢCA＝α,在△ABC中,由余弦定理，得ＢＣ2＝AB2＋AC2-2ＡB·AC·cos∠ＢAC＝122＋２02－2×12×２0×cｏｓ1２0°＝7８4.解得BC=2８(海里).所以渔船甲的速度为错误!=1４海里/时．(２)在△ABＣ中,因为AB=1２(海里）,∠ＢＡC=１20°，BＣ=28（海里）,∠BCA＝α，由正弦定理,得错误!=错误!.即sin α＝错误!＝错误!=错误!．高考经典题组训练1．(四川卷改编)如图，正方形ABＣD的边长为1，延长BＡ至E，使AE=1,连结EＣ、ED，则sin∠CＥD＝_____＿__.解析在Ｒt△EAＤ和Rt△ＥBＣ中，易知ED=＼r(2）,EC＝5,在△DＥC中，由余弦定理得cｏｓ∠CEＤ=错误!=错误!=错误!.∴siｎ∠ＣED＝错误!.答案＼f(10,10）2.(20１1·新课标卷）在△ABC中，B=60°，AC=错误!，则AＢ+2BＣ的最大值为__＿___＿_．解析由正弦定理知＼ｆ(AB,ｓin C)=＼ｆ(3,sin60°）=＼f(BC,sin A),∴AB＝２sin C,BC=2sin Ａ．又A+C=12０°，∴ＡB＋2BC＝2sin C+4sin(120°-C）=2（siｎＣ＋2sｉn 120°coｓC-2cos 1２0°sin C)=２（sin C＋错误!ｃｏs C＋sin C)＝2(2ｓin C+错误!ｃｏs C)＝2错误!sin（Ｃ＋α)，其中tan α＝错误!，α是第一象限角.由于0°<Ｃ＜120°，且α是第一象限角,因此ＡB+2BC有最大值２＼r（７).答案2错误!3．(湖北卷改编）若△ＡＢC的三边长为连续三个正整数，且Ａ>B＞C,3ｂ=20a coｓA，则sinＡ∶sin B∶ｓin C＝_＿＿_＿＿_＿．解析由A>Ｂ>C，得ａ>b>c．设a＝c＋2，ｂ＝ｃ＋1，则由３b＝20ａｃos A，得3(ｃ+1)=20(ｃ+２）·＼f((c＋1)2+c2－(c＋2)２,2(c+１)ｃ),即3（ｃ+1)２ｃ＝10(ｃ＋１）（c+２)(c-3),解得ｃ=4,所以a=6,b＝5.答案6∶５∶44．（2·陕西卷）如图，A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋错误!)海里的两个观测点，现位于Ａ点北偏东45°,B点北偏西6０°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于Ｂ点南偏西６0°且与Ｂ点相距２0＼r（3）海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时,该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知ＡB＝５(3＋错误!）海里,∠DBA=90°-6０°=30°,∠ＤAB=90°－４５°＝4５°,所以∠ADＢ＝180°－(45°+30°)=105°,在△AＤB中,由正弦定理得错误!＝错误!,所以DB=＼f(AB·sｉｎ∠DAB，ｓｉn∠ＡDB)＝错误!=5(3＋３)·ｓin45°ｓｉn 4５°cos 60°+ｃoｓ４５°sin60°=103(海里)，又∠DBＣ=∠DBＡ＋∠ABC=30°＋(9０°-60°）=60°,ＢC=2０＼r(３）(海里),在△DBＣ中,由余弦定理得ＣD2＝BD2+BＣ２-2BD·ＢC·cos∠DBＣ＝30０＋１20０-2×１03×20＼ｒ(３）×错误!＝９0０,所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝＼f(3０，３0)=1(小时）．所以救援船到达D 点需要1小时.(江苏省2013届高三高考压轴数学试题)在△A ＢC 中，角A ,B ,Ｃ所对的边分别为a ,b ,ｃ,已知ａ=5，b =4，cos （A －B ）＝3231. (Ⅰ) 求s ｉn B 的值;（Ⅱ) 求cos Ｃ的值.分层训练A 级 基础达标演练(时间:3０分钟 满分：60分）一、填空题(每小题5分，共3０分)１．若渡轮以15 ｋm/h 的速度沿与水流方向成１20°角的方向行驶,水流速度为4 km/h,则渡轮实际航行的速度为(精确到０.1 km ／h)________．答案13.5 kｍ/h２.江岸边有一炮台高3０m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距__＿___＿_m.解析如图，OM＝AO taｎ45°=30 （m)，ON＝AＯtａｎ３０°＝错误!×３0＝1０错误!(m)，由余弦定理得,ＭN= 错误!＝错误!=1０错误!（m)．答案1０错误!3．某人向正东方向走x km后,他向右转150°,然后朝新方向走３km，结果他离出发点恰好错误!ｋm,那么ｘ的值为_＿___＿__.解析如图,在△ＡBC中，AB=x，BC＝3，ＡC=错误!，∠ABC=30°，由余弦定理得(３）2＝３２＋ｘ２－2×3x×cos 30°，即ｘ２－3＼ｒ(3）x＋６=０,解得x1＝错误!,x２＝２错误!，经检测均合题意．答案3或2＼ｒ(３)4.如图所示，为了测量河对岸A,B两点间的距离，在这一岸定一基线CＤ，现已测出CD＝ａ和∠ACD＝6０°，∠BＣＤ＝3０°,∠BDC＝１05°,∠ADC＝６０°，则AＢ的长为________．解析在△ACD中,已知CD＝ａ，∠ACＤ＝60°,∠ADC=６0°,所以AC＝a.①在△BCD中,由正弦定理可得BC=错误!=错误!a.②在△AＢC中,已经求得AC和ＢC，又因为∠ACB＝30°,所以利用余弦定理可以求得A，Ｂ两点之间的距离为AB＝错误!＝错误!a.答案错误!a5．(2010·新课标全国卷)在△ABC中,D为边BC上一点，BD＝错误!CＤ,∠ＡＤＢ=１2０°,AD＝2，若△ADC的面积为3-3,则∠BＡC=＿_______.解析由Ａ作垂线ＡＨ⊥ＢＣ于Ｈ.因为S△ＡＤＣ＝错误!DA·DC·sin 60°=错误!×2×DC·错误!=３－错误!,所以DC=２(＼ｒ(3)－1),又因为AH⊥BＣ，∠ADH=６0°,所以DＨ＝AＤｃos 60°=1,∴HC＝２（3-1)－DH=23－3.又BD=错误!CD，∴ＢＤ=错误!－1,∴BH=BＤ＋DH=错误!．又ＡH＝AD·ｓiｎ60°=错误!，所以在Rt△ＡＢH中AH=ＢH,∴∠ＢAH=45°.又在Ｒt△AHＣ中tan∠HAC＝HＣAＨ=错误!=2-错误!，所以∠HAＣ=15°.又∠BＡC=∠BAH＋∠CAH＝６０°，故所求角为60°.答案6０°6.如图，为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点Ｃ,使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东1５°方向走10米到位置D，测得∠ＢDC=45°，则塔ＡB的高是＿_______米．解析在△BCD中，CD=1０（米),∠BDC＝４5°,∠BCD=１5°+9０°=1０5°，∠ＤBC=30°,＼f(BC,sｉn 45°）＝错误!，BＣ=错误!＝10＼r(2）（米）．在Rt△ABC中,tan6０°＝＼f（ＡＢ,ＢC),AB＝ＢC taｎ60°=10错误!(米）.答案10错误!二、解答题（每小题１５分,共30分）7.(20１１·常州七校联考)如图,在半径为错误!、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上,点N、Ｍ在OB上，设矩形ＰNMQ的面积为y，(１）按下列要求写出函数的关系式：①设ＰN=x,将ｙ表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．解 (1)①∵ON ＝O Ｐ2-PN 2＝错误!,ＯＭ=错误!x ，∴MN ＝＼ｒ(３－x ２)－错误!x ，∴y =x 错误!，ｘ∈错误!.②∵ＰN ＝错误!ｓin θ,ON ＝错误!ｃo ｓ θ,O Ｍ=错误!×错误!ｓi ｎ θ=si ｎ θ， ∴MN ＝ON -ＯM ＝错误!c ｏｓ θ－s ｉn θ,∴y =错误!si ｎ θ(错误!c ｏs θ-ｓin θ),即y =3si ｎ θc ｏs θ－＼r(3）sin 2θ，θ∈错误!.(2）选择ｙ=3ｓｉn θcos θ－＼r(3)ｓin 2θ＝错误!sin 错误!－错误!,∵θ∈错误!,∴２θ＋错误!∈错误!，∴y ｍax ＝错误!.8．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西３０°且与该港口相距2０海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到3０海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小）,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解 (１）设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则S =错误!=＼r(90０t 2-6０0t ＋400）= 错误!.故当t ＝＼f （1,3)时,S min =10＼r(3）(海里),此时ｖ＝错误!＝30错误!（海里/时).即，小艇以３０３海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2=4０0+900t 2-2·2０·30t ·cos(90°－30°),故ｖ２＝900-600t ＋错误!，∵0<v ≤30,∴900-错误!+错误!≤900，即错误!－错误!≤0，解得t ≥错误!.又t =＼ｆ(2,3)时,v ＝3０海里/时．故v＝30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于２3.此时,在△ＯAB中，有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°，航行速度为３0海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．。