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1.2.2正弦、余弦定理应用

1.2.2解斜三角形
学习目的:
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用;
2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化;
3通过解斜三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力
学习重点:1实际问题向数学问题的转化;2解斜三角形的方法 学习难点:实际问题向数学问题转化思路的确定
课堂过程: 一、复习引入:
上一节,我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节,继续给出几个例题,
要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决
二、讲解范例:
应用二:测量高度
例1 如图,AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点。

设计一种测量建筑物高度AB 的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直接测量建筑物的高。

由解直角三角形的知识,只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ,并测出由点C 观察A 的仰角,就可以计算出建筑物的高。

所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。

解:选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上,由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α,β,CD=a. 测角仪器的高为h, 那么,在△ACD 中,根据正弦定理可得: sin sin()
a AC βαβ=
-
sin asin sin =
sin(-)
AB AE h AC h h
ααβαβ=+=++
例2 如图,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。

已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD (精确到1m ) 分析:根据已知条件,应该设法计算出AB 或AC 的长
解:在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得:
E D
G
H C A
B
A
α
β
,sin()
sin(90)
BC AB αββ=
-+
sin(90)cos AB ,sin()
sin()
BC BC ββαβαβ+=
=
--
cos sin Rt ABD, BD=ABsin BAD=
sin()
BC βααβ∠-解得V 0/
/
/
0/
cos sin 27.3cos 501sin 5440BD =
sin()
sin(5440501)
B C βααβ=
--
0/0
/
/
27.3cos 501sin 5440
177()sin(439)
m =

17727.3150()CD BD BC m =-≈-≈
答:山的高度约为150米。

例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.
分析:要测出高CD, 只要测出高所在的 直角三角形的另一条直角边或斜边的长, 根据已知条件,可以计算出BC 的长
ABC A 15, C =251510∠=∠-=解:在中,V B C
sin A B C
=
根据正弦定理可得:sinA
00
sin 5sin 15BC 7.4524()sin sin 10
AB A km C
=
=

C D =BC tan tan 81047()
D BC BC m ∠≈≈
答:山的高度大约为1047米。

例4 据气象台预报,距S 岛300 km的A 处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响
问:S 岛是否受其影响?
若受到影响,从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由
分析:设B 为台风中心,则B 为AB 边上动点,SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤27O 这一不等式是否有解的判断,则需表示SB ,可设台风中心经过t小时到达
B
βα
B D
C
A
815250D
C
B
A
点,则在△ABS中,由余弦定理可求SB
解:设台风中心经过t小时到达B点,
由题意,∠SAB=9O°-3O°=6O°
在△SAB中,SA=3OO,AB=3Ot,∠SAB=6O°,
由余弦定理得:
SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos SAB
=3OO2+(3Ot)2-2·3OO·3O t cos6O°
若S岛受到台风影响,则应满足条件
|SB|≤27O 即SB2≤27O2
化简整理得t2-1Ot+19≤O
解之得 5-6≤t≤5+6
所以从现在起,经过5-6小时S岛开始受到影响,(5+6)小时后影响结束 持续时间:(5+6)-(5-6)=26小时
答:S岛受到台风影响,从现在起,经过(5-6)小时,台风开始影响S岛,且持续时间为26小时
三、课堂练习:
1海中有一小岛B,周围3.8海里有暗礁,军舰由西向东航行到A,望见岛在北75°东,航行8海里到C,望见岛B在北6O°东,若此舰不改变航向继续前进,有无触礁危险?
答案:不会触礁
2直线AB外有一点C,∠ABC=6O°,AB=2OO km,汽车以8O km/h速度由A向B行驶,同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶,问运动开始几小时后,两车的距离最小 答案:约13小时
四、小结通过本节学习,要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用,熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化,逐步提高数学知识的应用能力
五、课后作业:课本19页习题1.2A组第5—8 题。

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