高考文科数学复习专题极坐标与参数方程(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，．极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．如下图所示．，0φ－π＝θ和0φ＝θ角的直线方程是0φ过极点且与极轴成(1)(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示．(3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所示．3．圆的极坐标方程．所示．1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示．2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π2圆心在过极点且与极轴成3)(示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，y x ＝θtan ，x2＋y2＝ρ或者 其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．并⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），即，的函数t 都是某个变数y ，x 如果曲线上任意一点的坐标，在平面直角坐标系中且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．的直线：α倾斜角为，)0y ，0P(x 过定点(1) ⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α，)为参数(t M与点P 又称为点，的数量PM 为终点的有向线段)y ，M(x 点，为起点)0y ，0P(x 是以定点t 其中参数间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：＝|A t －B |t ＝|AB|则，B t 和A t 它们对应的参数分别为，是直线上任意两点B ，A ①设；（tB ＋tA ）2－4tA ·tB.tA ＋tB2的中点所对应的参数值等于AB 线段② 的圆：r 半径等于，)0y ，0P(x 中心在(2) ⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ)为参数(θ (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ.⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ)为参数(θ 为参(α⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋acos α，y ＝y0＋bsin α轴的直线上的椭圆的参数方程为x 焦点在平行于，)0y ，0P(x 中心在点数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ.⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ)为参数(θ (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x＝2p ，y＝2p ．)p>0，为参数(t .1cos θ＝θsec 注： 3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．．)32－，(2标是的直角坐A 则点，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3的极坐标为A 已知点．1 ．⎝⎛⎭⎪⎫22，－π6结果为，化为极坐标)2－，6(的直角坐标P 把点．2 ．4＝22)－(y ＋2x 化为直角坐标方程为θsin 4＝ρ标方程曲线的极坐．3 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6cos 2＝ρ为半径的圆的极坐标方程是1为圆心、⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6以极坐标系中的点．4 )为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ：C 过椭圆)为参数(t ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ：l 若直线，中xOy 在平面直角坐标系．5．3的值为a 则常数，的右顶点 的右顶点C 所以椭圆1.＝y24＝x29得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，：C 由椭圆a.－x ＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，：l 由直线解析：为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题轴正半轴为极轴x ，为极点O ．若以原点)3－，(1标为的直角坐P 点，中xOy 在平面直角坐标系．1建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3A. ⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C. 则直线与圆的位，)为参数(t ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1直线的方程为，)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ的方程为若圆．2置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的l则直线θ，cos 4＝ρ的极坐标方程是C 圆，)为参数(t ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3的参数方程是l 已知直线，长度单位被圆C 截得的弦长为(D ) 142．B 14A. 22．D 2C.，2＝r 半径，)0，C(2所以圆心，4x ＝2y ＋2x ，0＝4－y －x 由题意可得直线和圆的方程分别为解析：.22解得弦长为，半弦长构成直角三角形，圆心距，由半径，2＝d 的距离l 到直线)0，(2圆心 的位)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ：O 与圆l 则直线，1＝21)－(y ＋22)－(x ：C 平分圆l 已知动直线．4置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ：O 又圆，上l 在直线)1，(2即圆心，1＝21)－(y ＋22)－(x ：C 平分圆l 动直线解析：是相交．的位置关系O 与圆l 则直线，内O 在圆)1，(2故点，<921＋22且9＝2y ＋2x 的普通方程为 二、填空题为极O 若以，)是参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ的参数方程是C 已知曲线，中xOy 在平面直角坐标系．5．0＝3＋θ_sin 4ρ＋2ρ的极坐标方程可写为C 则曲线，轴的正半轴为极轴x ，点 ＋θ2sin 根据⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.∴，)是参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ，中xOy 在平面直角坐标系解析：0.＝3＋θsin 4ρ＋2ρ的极坐标方程为C 曲线0.∴＝3＋4y ＋2y ＋2x 即，1＝2)2＋(y ＋2x 可得，1＝θ2cos 轴的x 以，为极点O 以原点，)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ的参数方程为C 坐标系中圆在平面直角．6．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2的圆心的极坐标为C 则圆，正半轴为极轴建立极坐标系 三、解答题 的距离．(ρ∈R)1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ2求极点到直线．7 ，1＝y ＋x ⇒1＝θcos ρ＋θsin ρ⇒1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ2由解析： .22＝|0＋0－1|12＋12＝d 故 上0＝7－θ sin ρ＋θcos ρ为直线B ，上的动点0＝3－θcos 2ρ＋2ρ为曲线A ，极坐标系中．8的动点，求|AB|的最小值．上所有点的横坐标伸1C 将曲线，)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ方程为的参数1C 曲线)大连模拟(2015·．9轴x ，为极点O 的原点xOy 以平面直角坐标系.2C 得到曲线，倍3纵坐标伸长为原来的，倍2长为原来的的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.的普通方程；l 和直线2C 求曲线(1) 的距离的最值．l 到直线P 求点，上任意一点2C 为曲线(2)P ，1＝y23＋x24：2C 即，)为参数(θ⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ的参数方程为2C 由题意可得(1)解析： 直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0. 的距离为l 到直线P 由点到直线的距离公式得点，)θsin 3，θcos P(2设点(2) |2cos θ－23sin θ－6|5＝d ⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π65＝.⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π655＝ .255最小值为，52的距离的最大值为l 到直线P 故点，52≤d ≤255所以经过定点l 直线，)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ的参数方程为C 曲线，中xOy 已知在直角坐标系．10.π3倾斜角为，)5，P(3 (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．，16＝22)－(y ＋21)－(x 得普通方程为，)为参数(θ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ的参数方程C 由曲线(1)解析：0.＝11＝4y －2x －2y ＋2x 即 ．)是参数(t ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t直线的参数方程为，π3倾斜角为，)5，P(3经过定点l 直线 设方程的两根，0＝3－)t 33＋(2＋2t 得，整理，0＝11－4y －2x －2y ＋2x 将直线的参数方程代入(2)，3＝－2t 1t 则，2t ，1t 分别为 3.＝|2t 1|t ＝|PB||PA|·，所以两点B ，A 相交于C 与曲线l 因为直线。