第7讲 极坐标与参数方程(教师版 )【基础知识】一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换ϕ：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩的作用下对应到点///(,)P x y ，则称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
二.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．曲线的参数方程（1）圆的参数方程可表示为.（2）椭圆的参数方程可表示为.（3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.注意：t 的几何意义3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：(,)P x y ()()x f t y f t =⎧⎨=⎩222)()(r b y a x =-+-)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 12222=+b y a x )0(>>b a )(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x px y 22=)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==),(o o O y x M αl ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x t y x , )0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xya y x y x θθρθρρ代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
【基本题型】题型一. 极坐标与直角坐标的互化。
互化原理（三角函数定义）、数形结合。
例1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 13（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 222-=+； （2）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y tx 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与直线l 的方程得，⎩⎨⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=02y x ，化为极坐标为)45,2(π或),2(π.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化. 考点：cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+. 变式训练一．在极坐标系中，设圆C 经过点6π⎛⎫P ⎪⎝⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．试题解析：：6π⎫P ⎪⎭直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与x 轴的交点也就是圆心为()1,0，所所以圆的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=考点：转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标； 题型二.曲线（圆与椭圆）的参数方程。
（1）普通方程互化和最值问题。
“1”的代换（22cos sin 1θθ+=）、三角解决。
例2．已知曲线C 的参数方程是)(sin ,cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，B A ,的极坐标分别为)34,2(),,2(ππB A . （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 距离的最大值. 试题解析：（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为44(2cos ,2sin ),(2cos,2sin )33A B ππππ，即(2,0),(1,A B --，AB k =，∴直线AB的方程为02)y x -=+0y ++=． （Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为d ==，（其中tan ϕ=，∴max d ． 考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．变式训练2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 解析：（1）直线l的普通方程为0x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为22122x y ⎛⎛-++= ⎝⎭⎝⎭，因为圆心22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭到直线0x y -+=的距离为51d ==>,所以直线l 与曲线C 的的位置关系为相离.（2）设点cos ,sin 22M θθ⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 4x y πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离． （2）公共点问题。
联立求解判别式，直线与圆d 与r 。
例3．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为,x a y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的长度单位）中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．解析：（Ⅰ）由222224cos 4cos 4(2)4x y x x y ρθρρθ=⇒=⇒+=⇒-+=， ∴圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=（或2240x y x +-=）；（Ⅱ）直线l 的参数方程为,x a y t⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩0x a -=，∵圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，由直线l 与圆C 22a =⇒=-或6． 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．变式训练3．在极坐标系中，直线l ()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，以极点为原点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，且[]0,απ∈).（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求m 的取值范围.试题解析：（1）由直线lsin cos cos sin44m ππθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即直线l 的直角坐标方程为：y x m -=，由曲线C 的参数方程(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，且[]0,απ∈).得：[]22221,0,13x y y y +=+=∈（2）设曲线C上任意一点为),sin αα，则[]sin 2sin ,0,3m πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，Q 直线l 与曲线C有两个公共点，)2m ∴∈.考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.题型三。
直线参数方程（t 的几何意义）。
定点到动点的距离。
例4．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为，求PA PB +. 试题解析：（1）由ρθ=，得220x y +-=，即22(5x y +=. （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(1))522t -+=，即240t -=.由于0∆>，故可设12,t t，是上述方程的两实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩l过点(1P ，故由上式及t 的几何意义得考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用．变式训练4．在直角坐标系xoy 中，过点(1,2)P -的直线l 的斜率为1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1）求直线l 的参数方程；（2）求||||PA PB试题解析：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，所以cos sin 2αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向向量为t ，则1.22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得2(2)2(1)22-+=+, 即240t -+=. 设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ， 所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 PA PB ⋅=124t t = 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 题型四.伸缩变换例．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .变式训练1．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==yy xx 4'' .变式训练 2.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是1168122=-y x .【基础训练】1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π42.（2012 宁夏）已知圆C ：，则圆心C 的极坐标为_____ 答案：（ ）3..把点的极坐标化为直角坐标。