极坐标与参数方程
一、基础知识点梳理
（一）极坐标 极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再
选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.
特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标
(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3、极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ
互化公式
cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩ 222
tan (0)
x y y
x x
ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径
为r 的圆
(02)r ρθπ=≤<
圆心为(,0)r ,半径
为r 的圆
2cos ()2
2
r π
π
ρθθ=-
≤<
圆心为(,
)2
r π
,半
径为r 的圆
2sin (0)r ρθθπ≤<
过极点,倾斜角为
α的直线
(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
过点(,0)a ,与极轴
垂直的直线
cos ()2
2
a π
π
ρθθ=-
<<
过点(,
)2
a π
,与极
轴平行的直线
sin (0)a ρθθπ=<<
（二）、参数方程 1、参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()x f t y g t =⎧⎨
=⎩
①,并且
对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2、参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参
数的关系()y g t =,那么()
()x f t y g t =⎧⎨=⎩
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值
范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3、圆的参数
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+⎧⎨=+⎩
为参数。

4、椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

5、双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为
sec ()tan x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ϕ
ϕϕπϕπϕ
=⎧∈≠⎨
=⎩为参数，其中且 二、极坐标与参数方程历年高考题：
1、 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．
2、 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度
单位．已知直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，
y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得
的弦长为( )
A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2
3、曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，
y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )
A ．在直线y ＝2x 上
B ．在直线y ＝－2x 上
C ．在直线y ＝x －1上
D ．在直线y ＝x ＋1上 4、在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ－π
6＝1的距离是________．
5、在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．
6、已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．
7、在平面直角坐标系中，倾斜角为π
4的直线l 与曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且
|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．
8、已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．
9、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝
2cos θ，θ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
10、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
11、已知直线的参数方程为⎩⎨
⎧-=-=t y t a 42x ，（t 为参数），圆的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θ
sin 4cos 4y x ，（θ为常数）．
①求直线和圆的普通方程；
②若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．
12、将圆12
2
=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．
⑴写出C 的参数方程；
⑵设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为21P ,P 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程．
13、已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
14、。