专题1 极坐标与参数方程【基本方法】1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)；2．基本转化公式：cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，222(0)tanx yxyxρθ⎧=+⎪≠⎨=⎪⎩；3．参数方程：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程；4．直线的参数方程00cos sinx x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问.【三年真题】1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.(1)若1a=-，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到la.2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩(t为参数，a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.(I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.【自主研究】4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3ρθπ=-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ (其中)ϕ∈R ，求PQ 的最大值．5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩＝cos sin (θ为参数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(3π＋θ)＝6．(Ⅰ)求点P 到直线l 的距离；(Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值．6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．7．(2015年全国卷II)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠ 0)，其中0α≤<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(I)求C 2与C 3交点的直角坐标；(II)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值.8．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2:1x tl y t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线C 交于,M N 两点．(I)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (II)求22||||PM PN +的值．9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 2的参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩ (β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求C 1和C 2的极坐标方程； (II)已知射线1l ：(0)2θααπ=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l θαπ=+，且1l 与C 1交于O ，P 两点，2l 与C 2交于O ，Q 两点，求||||OP OQ 取最大值时点P 的极坐标．10．(2017届衡水中学第二次调研考试)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点M 对应的参数3ϕπ=，4θπ=与曲线2C交于点)4D π.(I)求曲线1C 的极坐标方程及2C 的普通方程； (II)12(,),(,)2A B ρθρθπ+是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值.11．(2012年全国新课标)已知曲线1C 的参数方程是2cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B CD 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π.(1)求点,,,A B C D 的直角坐标；(2)设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.12．(2014年全国新课标I)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.13．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，曲线 2C的极坐标方程为cos sin 40ρθθ--=．(1)求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．14．在直角坐标系中，圆C 的方程是2240x y x +-=，圆心为C ，在以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．(I)求直线AB 的极坐标方程；(II)若过点(2,0)C的直线222:12x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求||||CD CE 的值．15．在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=.(Ⅰ)说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；(Ⅱ)1C 与2C 有两个公共点,A B ，定点P的极坐标为)4π，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积.16．(2017届江西省第三次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线()221:11C x y -+=，曲线2C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系.(1)求12 C C ，的极坐标方程；(2)射线()0y x x =≥与1C 的异于原点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .17．(2017届安徽省合肥市一模)已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为2sin cos 0θθ=.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.18．(2017届广东省汕头市一模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2θπ∈.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.19．(2017届广东省肇庆市二模)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin()4ρθπ+=(Ⅰ)直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； (Ⅱ)点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.20．(2017届安庆市期末监测)已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，θ∈R )．(Ⅰ)求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点． 求四边形ABCD 面积的最大值．21．在直角坐标系中x O y 中，已知曲线E 经过点P(1)，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A 、B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．22． (2017届山西省适应性测试)已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩(0a b >>，θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为r ρ=(0r >)．(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； (Ⅱ)若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值.23．(2017届四川省绵阳市二模)已知曲线C的参数方程是(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).(1)将C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy 中，(0,2)P ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0,Q ρθθ++=为C 上的动点， 求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值.24．(2017届江西省高三下学期调研考试)在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，[]0,α∈π)，直线l 的极坐标方程为4)4ρθ=π-.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 任意一点，求PQ 的最小值.25．(2017届泉州市考前适应性模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为224240x y x y +--+=.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求l 的普通方程与C 的极坐标方程； (II)已知l 与C 交于,P Q ，求PQ .26．(2017届广东省高三第三次六校联考)在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(Ⅰ)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系(与平面直角坐标系的单位长度相同)，当60α︒＝时，求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)已知点()10P ，，直线l 与椭圆2212x y +=相交于点A 、B ，求PA PB ⋅的取值范围．27．已知在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为3cos ,13sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线6θπ=(R ρ∈)与曲线1C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度.28．(2017届河南省豫北名校联考试题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点(2,1)M (平面直角坐标系xOy 中点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率．29．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，),(3,)23A B ππ，圆C 的方程为θρcos 2=.(1)求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准方程； (2)已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.30．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos 4cos C ρρθθ=+．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． (1)求12,C C 的直角坐标方程 ；(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求||||||HI JK -的值．31．(2017届安徽省蚌埠市质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，0α≤<π)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．(I)若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值；(II)将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换''x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值．32. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4θρπ=∈R （）.(Ⅰ)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(Ⅱ)设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆面积的最大值.33．(2017届南昌市调研)将圆224x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.34．(2017届江西省重点中学联考)在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设点M 的极坐标为4π)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点， 若||2||MA MB =，求AB 的弦长．专题1 极坐标与参数方程参考答案1．解：(1)由3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得2219x y +=，由41x a ty t=+⎧⎨=-⎩得44x y a +=+， 当1a =-时，由221943x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,0； (2)点(3cos ,sin )θθ到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤， 解得8a =-或者16a =. 2．解：(I)由cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩得222(1)x y a +-=，∴1C 是圆心为(0,1)，半径为a 的圆，将cos ,sin x y ρθρθ==代入222(1)x y a +-=得222sin 10a ρρθ-+-=， ∴C 1的坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=；(II )∵0a >，曲线C 1与C 2的公共点满足222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，若0ρ≠时，2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，又tan 2θ=，得216cos 8sin cos 0θθθ-=，∴210a -=⇒1a =或1a =-(舍去)， 若0ρ=，极点也为C 1与C 2的公共点，在3C 上，有1a =， ∴1a =.3．解：(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. (Ⅱ)将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12. 4．解：(I)∵4sin()3ρθπ=-，∴4(sin cos cos sin )33ρθθππ=-，…………………1分∴22sin 23cos ρρθρθ=-，……………………………………………………………2分∴曲线C 的直角坐标方程为222320x y x y ++-=．…………………………………5分(II)曲线C 可化为22(3)(1)4x y ++-=，∴曲线C 是圆心，半径为2的圆，∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ，∴点Q 在圆O ：221x y +=，…………………8分∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．……………………………………10分 5．解：(Ⅰ)点(2,)3P π-的直角坐标为[2cos(),2sin()]33ππ--，即(1,3…………2分 由直线l ：cos 63ρθπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得()1cos 362ρθθ-=.则l 的直角坐标方程为：3120x --= ………………………………………………4分 点P 到l 的距离131242d +-== …………………………………………………………5分 (Ⅱ)可以判断，直线l 与曲线C 无公共点，设(333)Q θθ …………………6分 则点Q 到直线3120x --=的距离为6cos 1233cos 3sin 1262d θθθπ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==…………………………………8分 所以当cos 16θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 9d = ………………………………………………10分 6．解：(Ⅰ)由22(6)25x y ++=得2212110x y x +++=， …………………………4分∴圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=；………………………………………5分 (Ⅱ)直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ， 将直线:l θα=代入212cos 110ρρθ++=得212cos 110ρρα++=，…………6分 ∴121212cos ,11ρραρρ+=-=，………………………………………………………7分∴12||||AB ρρ=-==8分由||AB =23cos 8α=，则tan α=，………………………………………9分∴直线l的斜率为3或3-.…………………………………………………………10分7．解：(I)由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，即曲线C 2的普通方程为2220x y y +-=，………………………………………………2分由ρθ=得2cos ρθ=，即曲线C 3的普通方程为220x y +-=，……………………………………………3分由2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………………………4分 ∴C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和3)2；…………………………………………5分 (II)曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0α≤<π，…………………6分 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα，………………………8分∴|||2sin |4|sin()|3AB αααπ=-=-，………………………………………9分 当32αππ-=，即6α5π=时，||AB 取得最大值4.……………………………………10分8．(Ⅰ)由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22y x =；根据21x ty t =-⎧⎨=--⎩(t 为参数)，消去t 得，30x y --=，…………………………………4分故曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是22y x =，30x y --=． ……5分 (Ⅱ)将直线l 的标准参数方程为2221x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22y x =中，……………7分 整理得24260t t --=．设t 1，t 2是该方程的两根，则1212426t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，……………8分由参数的几何意义，可知22222121212()244PM PNt t t t t t +=+=+-=． ………10分9．解：(I)曲线C 1的直角坐标方程为22(1)4x y -+=，………………………………1分 所以C 1极坐标方程为4cos ρθ=，………………………………………………………2分 曲线C 2的直角坐标方程为22(1)4x y +-=，……………………………………………3分 所以C 2极坐标方程为4sin ρθ=；………………………………………………………4分 (II)设点P 极点坐标1(,4cos )ρα，即14cos ρα=，……………………………………5分 点Q 极坐标为2(,4sin())6ραπ+，即24sin()6ραπ=+，……………………………6分 则12||||4cos 4sin()6OP OQ ρρααπ==+3116cos cos )2ααα=+8sin(2)46απ=++，………………………………………………………………………8分因为(0,)2απ∈，所以2(,)666αππ7π+∈，………………………………………………9分当262αππ+=，即6απ=时，||||OP OQ 取最大值，此时P 极点坐标(23,)6π．10分10．解：(I)将(M 及时对应的参数3ϕπ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos3,sin 3a b π⎧=⎪⎪π= ∴42a b =⎧⎨=⎩，故1C 的普通方程为221164x y +=，……………………………………………2分 其极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，即22(13sin )16ρθ+=， ………………3分设圆2C 的方程为()222x R y R -+=，点)4D π的直角坐标为(1,1)，∴()22211R R -+=，得1R =，…………………………………………………………4分∴圆2C 的普通方程为()2211x y -+=；…………………………………………………5分(II)曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B ρθρθπ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos ()sin ()221164ρθρθππ+++=，………………7分所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………10分11．解：(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ…………………3分 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--………………………5分(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈……10分12．解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，…………………………2分由直线l ：222x ty t=+⎧⎨=-⎩得260x y +-=，…………………………………………………3分∴直线l 的普通方程为：260x y +-=；…………………………………………………5分(Ⅱ)在曲线C 上任意取一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. …………8分当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5；…………………………9分当()sin 1θα+=时，||PA .………………………………10分13．解：(1)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ--=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x -=．……5分(2)设()P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos()d θπ-+===……………8分当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．……………………10分 14．解：(I)在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=sinθ，∴ρ2=﹣ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣y ，∴曲线C 1：x 2+y 2，∴直线AB 的普通方程为：(x 2+y 2－4x)－(x 2+y 2，∴y=，∴ρsinθ=，∴tanθ=……………………………………4分∴直线AB 极坐标方程为：()6θρπ=-∈R ．…………………………………………5分 (II)根据(I)知，直线AB 的直角坐标方程为y=x ，…………………………………6分 根据题意可以令D(x 1，y 1)，则1111212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点D 在直线AB 上，所以12t 1=1)， 解得 t 1=－3，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=3，…………………………8分同理，令交点E(x 2，y 2)，则有22222212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点E 在直线x=0上，令2+2t 2=0，∴t 2=－3，∴|CE|=|t 2|=3，……………9分 ∴|CD|：|CE|=1：2．………………………………………………………………………10分 15．解：(Ⅰ)2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=.……………………………5分(Ⅱ)定点P 的直角坐标在直线1C 上，将1C的参数方程为1,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入22230x y x +--=中得：…………6分22112130222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：230t +-=.设两根分别为12,t t，由韦达定理知：12123,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩………………8分所以AB 的长12AB t t =-===9分定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==.…………………………………10分 16．解：(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 的方程：()2211x y -+=，可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，………………………………………………2分曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入， 得到2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=.……………………………………………5分 (2)射线的极坐标方程为()06θρπ=≥，与曲线1C 的交点的极径为12cos 6ρπ==分 射线()06θρπ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26ρπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2ρ=.9分所以125AB ρρ=-= (10)分 17．解：(Ⅰ)2sin cos 0θθ-= ，22sin cos 0ρθθ∴= ，即20y = ； (5)分(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入20y=21102t ⎫+=⎪⎭，即0t =，从而，交点坐标为(，…………………………………………………………………9分 所以，交点的一个极坐标为(2,)3π . ……………………………………………………10分 18．解：(1)由题意知：θρcos 2=，[0,]2θπ∈，所以θρρcos 22=，[0,]2θπ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1(t 为参数，0t ≤≤π).………………………………5分(2)设)sin ,cos 1(t t D +，由(1)知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即)23,23(.…………………………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ)1C 的普通方程是()2224x y ++= ， …………………………………2分1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， ………4分，2C 的普通方程40x y +-=. ……6分(Ⅱ)方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. ………………7分圆心到直线2C 2=>，直线和圆相离. ……………………8分所以AB 的最小值为2. ……………………………………………………10分 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线，…………………………………7分 所以AB 的最小值即点A 到直线的距离d 的最小值，d ==9分2=. ………………………………………………10分 20．解：(Ⅰ)将方程6cos ρθ=的两边同乘以ρ，得26cos ρρθ=，所以226x y x +=，22(3)9x y ⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程．直线4cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t 为参数，R θ∈)．…………………………………………2分当2k πθπ=+，Z k ∈时，直线l 的普通方程是4x =；………………………………3分当2k πθπ≠+，Z k ∈时，消去参数t ，得直线l 的普通方程是(4)tan 1y x θ=--.4分(Ⅱ)将4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x +=，整理得22(cos sin )70t t θθ+--=．设两点A 、C 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122(cos sin )7.t t t t θθ+=--⎧⎨=-⎩，………………5分所以12AC t t =-===6分设直线0l 的参数方程为004cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t 为参数，0θ为直线0l 的倾斜角)．同理可得BD =．因为0l l ⊥，所以02πθθ-=，那么0sin 2sin 20θθ+=．所以BD =7分 所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=8分因为()()8sin 28sin 216θθ-++= ．故16S ≤．……9分 四边形ABCD 面积的最大值为16． ……………………10分21．解：(1)将点P(1)，代入曲线E的方程：1cos 3a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23a =，3分所以曲线E 的普通方程为22132x y +=，…………………………………………………4分其极坐标方程为222cos sin ()132θαρ+=；………………………………………………5分(2)由OA ⊥OB ，不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，2θπ+)，………6分 则代入曲线E 的极坐标方程，可得221211115326ρρ+=+=，……………………………9分 即2211||||OA OB +为定值56．……………………………………………………………10分 22．解：(Ⅰ)1C ：22221(0)x y a b a b+=>>，2C ：222x y r +=(0r >)． …………2分当r a =或b 时，两曲线有两个公共点；…………………………………………………3分 当b r a <<时，两曲线有四个公共点；……………………………………………………4分 当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点．………………………………………………5分 (Ⅱ)由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称，所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称，……………………………………………6分 设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ，………………………………………7分 则四边形的面积为4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤．…………………………9分 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时，等号成立．…………………………………………10分23．解：(1)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………………5分(2)将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)，∴ d ==，∴ 最小值是4636-．…………………………………………………………………10分24．解：(1)曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，[]0,α∈π)，消去参数α，可得()2211x y -+=，……1分由于[]0,α∈π，∴0y ≥，…………2分 故曲线C 的轨迹方程是上半圆()()22110x y y -+=≥.………………………………3分∵直线4:)4l ρθ=π-，即4θθ⎫=⎪⎪⎝⎭， 即sin cos 4ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为40x y -+=.…………………………………………………6分 (2)由题意可得点Q 在直线40x y -+=上，点P 在半圆上，半圆的圆心()1,0C 到直线40x y -+=2=，即PQ1-.…………10分25．解：(I)曲线C的普通方程为221()(12x y -+-=，…………………………2分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入，化简得：曲线C 的极坐标方程为2cos()3ρθπ=-；4分 (II)将()012θρπ=>代入曲线C的极坐标方程，得ρ=A极坐标)12π，设(),M ρθ为直线l 上除点A 外的任意一点，则在OAM ∆中，由正弦定理得sin sin OM OAOAM OMA=∠∠，……………………………8分即3sin sin()43ρθ=π-sin()13ρθπ-=为直线l 的极坐标方程. ………………10分26．解：(Ⅰ)由直线l的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t0y --．将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线lcos sin 0θρθ--=；…………………………………4分 (Ⅱ)将参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，代入椭圆方程2212x y +=，得()2222sincos 2cos 10t t ααα++-=，(其判别式0∆>恒成立)．12222112sin cos sin 1PA PB t t ααα⋅===++．…………………………………………8分 20sin 1α≤≤，所以112PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，．………………………………………………10分 27．解：(Ⅰ)因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故(()2219x y -++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=.因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=(或写成()2211x y -+=).(Ⅱ)设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将6πθ=(R θ∈)代入2cos ρθ-2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12PQ ρρ=-==.28．解：(1)由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=．…………………………………………………3分 (2)设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin ,x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)． ……4分代入曲线C 的直角坐标方程，得()()2221111cos 4sin 4cos 8sin 80t t θθθθ+++-=， ………………………………6分所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩……………………………………………………7分由题意可知122t t =-． ……………………………………………………………………8分所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=． ……………9分解得476k -±=．所以直线l 的斜率为476-±． …………………………………10分 29．解：(1)由θρcos 2=，可得：θρρcos 22=，所以x y x 222=+ ……………4分 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为()2211x y -+= ……………………5分(2)在直角坐标系中，()0,33A ，333,2⎛⎫B⎪ ⎪⎝⎭所以3)33233()023(22=-+-=AB ，……………………………………………6分 直线AB 的方程为：333=+y x所以圆心到直线AB 的距离34333=-=d ， ……………………………………8分又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+故ABP ∆面积的最大值为233331321+=⨯+=）（S …………………10分 30．解：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；……3分由()cos 4cos ρρθθ=+，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为24y x =．………………5分 (2)不妨设四点在C 上的排列顺次至上而下为,,,H I J K ， 它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1,C J ，则1C IJ ∆为正三角形 ，所以1IJ =，…………………………………………7分()141411HI JK HI IK IJ t t t t -=-+=-+=-++，把122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得：23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=．10分 31．解：(I)曲线221:1C x y +=．…………………………………………………………1分 ()2221cos 1sin 2cos sin 101x t y t t t x y αααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩， ∴121MA MB t t ⋅=⋅=．……………………………………………………………………5分 (II)伸缩变换后得222:13x C y +=．其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩． …………………7分不妨设点(),A m n 在第一象限，由对称性知： 周长为())4,4sin m n θθ=+8sin 83θπ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，∴(6θπ=时取等号)周长最大为8．………………………………………………………10分 32．解：(Ⅰ)因为θρθρsin ,cos ==y x ，所以C 的极坐标方程为θρcos 2=，…2分直线l 的直角坐标方程为x y =， 联立方程组⎩⎨⎧=+-=0222y x x x y ，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，………………………………4分所以点N M ,的极坐标分别为)4,2(),0,0(π. …………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易得||MN =……………………………………………………………6分因为P 是椭圆2213x y +=上的点，设P 点坐标为)sin ,cos 3(θθ，…………………7分 则P 到直线x y =的距离2sin cos 3θθ-=d ，………………………………………8分所以12)6cos(22sin cos 322121≤+=-⨯⨯==∆πθθθd MN S PMN ，…………9分当,6k k πθπ=-∈Z 时，PMN S ∆取得最大值1. ………………………………………10分33．解：(I)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，…………………2分 依题意得：圆224xy 的参数方程为2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)………………………3分 所以C 的参数方程为2cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．……………………………………………5分 (II)由2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或01.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………6分所以P 1(2，0)，P 2(0，1)，则线段P 1P 2的中点坐标为1(1,)2，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为12(1)2yx ，并整理得423x y ………………………8分化为极坐标方程，4cos 2sin 3ρθρθ-=，即34cos 2sin ρθθ=-.………………10分34．解：(1)由2cos 22cos x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得2240x y y +-=，即24sin 0ρρθ-=，所以4sin ρθ=……………………………………………………………………………5分(2)设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)(1)曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，(2)联立方程可得22(cos sin )20t t θθ+--=， 所以122t t ⋅=-，且||2||MA MB =，所以122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=，所以12||||3AB t t =-=……………………………10分。