高中数学 正切函数的图像与性质学案
新人教A 版必修4
【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。
【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。
【学习内容】
问题情境导学
一、正切函数图像的画法
复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？ 预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______
2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为_____________。
3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函数。
4、正切函数tan y x =为___________函数。
（填：奇或偶）
？想一想（1）我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周期的区间上的图像，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图像，那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢？ （2）我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图，你能类似地画出函数tan y x =，)2
,2(π
π-∈x 的简图吗？
看一看（1）正切函数tan y x =，)2
,2(π
π-∈x 的图像画法
①作出直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。
③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应正切线） ④连线。
（2）函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2
,π
π的图像画法
①根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就得到正切函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2
,π
π的图像，我们把它叫做正切曲线。
②正切函数的简图可以用三点两线法，这里的三点分别为（)0,πk ，（)1,4
ππ+k ，)1,4
(--ππk ，两线为2
π
π±=k x ，
x
y
π2
3
-
π
2
π
-
2
π π2
3 0
y
x 2
π
-
2
π
z k ∈做简图时，只需先做出一个周期中的两条渐近线2
π
±
=x ，然后描
出三个点)0,0(，)1,4
(π，)1,4
(--π
用光滑的曲线连接得一条曲线，再平
行移动至各个周期内即可。
二、函数tan y x =的图像性质 解析式 图像
定义域 值域 奇偶性 单调性
思考：正切函数在定义域内是增函数吗？
课堂互动探究
类型一正切函数的定义域和值域 例1求下列函数的定义域和值域 （1）)4
tan(π
+=x y ；（2）x y tan 3-=
变式训练1-1：函数x
y tan 11
+=
的定义域
1-2求函数)tan 1lg(1tan x x y -++=的定义域
类型二、正切函数的单调性及其应用 例2（1）求函数)42
1tan(π
-=x y 的单调区间
（2）比较o 167tan 与o 173tan 、
)413tan(π-
与)5
12tan(π
-的大小
变式训练2-1：求函数)4
6
tan(3x
y -=π
的单调区间
类型三、与正切函数有关的正切函数的周期性、奇偶性 例3（1）求函数 )3
2
tan()(π
π+=x x f 的周期
（2）判断x x y tan sin +=的奇偶性
变式训练3-1：关于x 的函数)tan()(ϕ+=x x f 有以下几种说法：①对任意的ϕ，)(x f 都是非奇非偶函数；②)(x f 的图像关于)0,2
(ϕπ
-对称；
③)(x f 的图像关于（)0,ϕπ-对称；④)(x f 是以π为最小正周期的周期函数。
其中不正确的说法的序号
【课堂小结与反思】通过这节课的学习有哪些收获？
【课后作业与练习】 基础达标
1、函数)3
tan(π
+=x y 的定义域 （ ）
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x A ,6.π
π .
B ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠z k k x x ,6π
π
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x C ,62.ππ ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠z k k x x D ,62.π
π
2、当2
2
π
π
<
<-
x 时，函数x y tan =的图像（ ）
.A 关于原点对称 .B 关于x 轴对称 .C 关于y 轴对称 .D 不是对称图形
3、函数⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈-=4,4(),2tan(π
ππx x y 且)0≠x 的值域（ ） .A []1,1- .B ][),11,(+∞--∞U
(]1,.∞-C [)+∞-,1.D
4、b a ,是不等于1的正数，)2
3,
(π
πθ∈，若1tan tan >>θθb a 则下列不等式成立的是（ ）
.A 1>>b a .B 1<<b a .C 1<<a b .D 1>>a b
能力提升
5、函数 )4
tan()(π
+=x x f 的单调增区间为_____________。
6、函数)2tan(x
y -=的最小正周期为_____________。
7、函数x
x
y cos 1tan +=的奇偶性为_____________。
8、直线a y =（a 为常数）与正切曲线x y ωtan =（0>ω）的相邻两支的交点间距离为_______
9、比较大小：o 138tan ____o 143tan )413tan(π-
____)5
17tan(π
- 10、函数x y tan =的周期为____单调减区间为____ 11求函数)3
6
tan(2x
y -=π
的定义域、周期及单调区间
12、已知函数x x f ωtan )(=（0>ω）的图像的相邻两支截直线4
π
=y 所
得线段长为4
π，求)4
(π
f 的值。
13、求函数1tan tan 2-+=x a x y ，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,4π
π上的最小值。