例一 预应力混凝土空心板桥计算示例 一、设计资料1.跨径：标准跨径k l =13．00m ；计算跨径l =12．60m2.桥面净空：2.5m+4×3.75m+2.5m3.设计荷载:公路-Ⅱ极荷载;人群荷载:3.0kN ／2m4.材料:预应力钢筋：采用1×7钢绞线,公称直径12.7mm ；公称截面积98.72mm ,pk f =1860Mpa ，pd f =1260Mpa ，p E =1.95×510Mpa, 预应力钢绞线沿板跨长直线布置;非预应力钢筋：采用HRB335,sk f =335Mpa,sd f =280Mpa;R235,sk f =235Mpa,sd f =195Mpa; 混凝土：空心板块混凝土采用C40， ck f =26.8MPa ，cd f =18.4Mpa ，tk f =2.4Mpa ，td f =1.65Mpa 。
绞缝为C30细集料混凝土；桥面铺装采用C30沥青混凝土；栏杆及人行道为C25混凝土。
5、设计要求：根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范（JTG D62－2004）》要求，按A 类预应力混凝土构件设计此梁。
6、施工方法：采用先张法施工。
二、空心板尺寸：本示例桥面净空为净2.5m+4×3.75m+2.5m ，全桥宽采用20块C40的预制预应力混凝土空心板，每块空心板宽99cm ，高62cm ，空心板全长12.96m 。
全桥空心板横断面布置如图1-1，每块空心板截面及构造尺寸见图1-2。
图1－1 桥梁横断面（尺寸单位：cm ）图1－2 空心板截面构造及尺寸（尺寸单位：cm ） 三、空心板毛截面几何特性计算 （一）毛截面面积A （参见图1-2）A=99×62 - 2×38×8 - 4×2192⨯π-2×（21×7×2.5+7×2.5+21×7×5）=3174.3（2cm ） （二）毛截面重心位置 全截面对1/2板高处的静矩：板高21S =2×[21×2.5×7 ×（24+37）+7×2.5×（24+27）+21×7×5×（24-37）]=2181.7（cm 3） 绞缝的面积：A 绞=2×（21×2.5×7+2.5×7+21×5×7）=87.5（cm 2） 则毛截面重心离1/2板高的距离为：d=AS 板高21=3.31747.2181=0.687（cm ）≈0.7（cm ）=7（mm ）（向下移）绞缝重心对1/2板高处的距离为： 绞d =5.877.2181=24.9（cm ） （三）空心板毛截面对其重心的惯矩I 由图1-3，设每个挖空的半圆面积为A '：A '=81πd 2= 81π×382=567.1（cm 2） 半圆重心轴： y =π64d =π⨯⨯6384=8.06（cm ）=80.6（mm ） 半圆对其自身重心轴O-O 的惯矩为I '：I '=0.00686d 4=0.00686×384=14304（cm 4） 则空心板毛截面对其重心轴的惯矩I 为：I=1262993⨯+99×62×0.72-2×[128383⨯+38×8×0.72]-4×14304-2×567.1×[（8.06+4+0.7）2+（8.06+4-0.7）2]-87.5×（24.9+0.7）2 =1520077.25（cm 4）=1.5201×106（mm 4） （忽略了绞缝对其自身重心轴的惯矩）空心板截面的抗扭刚度可简化为图1-4的单箱截面来近似计算：图1－3挖空半园构造（尺寸单位：cm ）图1－4计算IT 的空心板截面简化图（尺寸单位：cm ）I T =2122224t b t h h b +=8)899(28)862(2)862()899(422-⨯+-⨯-⨯-⨯=2.6645×106（cm 4）=2.6645×1010（mm 4） 三、作用效应组合按《桥规》公路桥涵结构设计应按承载能力极限状态和正常使用极限状态进行效应组合，并用于不同的计算项目。
按承载能力极限状态设计时的基本组合表达式为：γ0S ud =γ0（1.2S Gk +1.4S k Q 1+0.8×1.4S Qjk ） 式中：γ0——结构重要系数，本桥属小桥γ0=0.9； S ud ——效应组合设计值； S Gk ——永久作用效应标准值；S k Q 1——汽车荷载效应（含汽车冲击力）的标准值； S Qjk ——人群荷载效应的标准值。
按正常使用极限状态设计时，应根据不同的设计要求，采用以下两种效应组合；作用短期效应组合表达式；Ssd = SGk+0.7×S'kQ1+1.0×SQjk式中：Ssd——作用短期效应组合设计值；SGk——永久作用效应标准值；S'kQ1——不计算冲击的汽车荷载效应标准值；SQjk——人群荷载效应的标准值。
作用长期效应组合表达式：Sld = SGk+0.4×S'kQ1+0.4×SQjk式中：各符号意义见上面说明。
《桥规》还规定结构构件当需进行弹性阶段截面应力计算时，应采用标准值效应组合，即此时效应组合表达式为：S= SGk + SkQ1+ SQjk式中： S——标准值效应组合设计值；SGk ，SkQ1，SQjk——永久作用效应、汽车荷载效应（计入汽车冲击力）、人群荷载效应的标准值。
根据计算得到的作用效应，按《桥规》各种组合表达式可求得各效应组合设计值，现将计算汇总于表1-1中。
空心板作用效应组合计算汇总表表1-1四、预应力钢筋数量估算及布置（一）预应力钢筋数量的估算本示例采用先张法预应力混凝土空心板构造形式。
设计时它应满足不同设计状况下规范规定的控制条件要求，例如承载力、抗裂性、裂缝宽度、变形及应力等要求。
在这些控制条件中，最重要的是满足结构在正常使用极限状态下的使用性能要求和保证结构在达到承载能力极限状态时具有一定的安全储备。
应此，预应力混凝土桥梁设计时，一般情况下，首先根据结构在正常使用极限状态正截面抗裂行或裂缝宽度限值确定预应力钢筋的数量，再由构件的承载能力极限状态要求确定普通钢筋的数量。
本示例以部分预应力A 类构件设计，首先按正常使用极限状态正截面抗裂性确定有效预加力N pe 。
按《公预规》6.3.1条，A 类预应力混凝土构件正截面抗裂性是控制混凝土的法向拉应力，并符合以下条件：在作用短期效应组合下，应满足st σ- pc σ≤0.70tk f 要求。
式中：st σ——在作用短期效应组合sd M 作用下，构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力。
pc σ——构件抗裂验算边缘混凝土的有效预压应力。
在初步设计时，st σ和pc σ可按下列公式近似计算： sdst M W σ= pc pc P pc N N e A Wσ=+式中：A ，W ——构件毛截面面积及对毛截面受拉边缘的弹性抵抗矩；P e ——预应力钢筋重心对毛截面重心轴的偏心矩，p p e y a =-,p a 可预先假定。
代入st σ- pc σ≤0.70tk f 即可求得满足部分预应力A 类构件正截面抗裂性要求所需的有效预加力为：0.701sdtk pcp M f W N e A W-=+ 式中：tk f ——混凝土抗拉强度标准值。
本示例，预应力空心板桥采用C40，tk f =2.4，由表1-1得，sd M =327.98kN.m =327.98×106N.mm,空心板毛截面换算面积A=3174.32cm =3174.3×2102mm ,W=I y 下=341520.110(310.70)cm cm⨯-=3350.1710cm ⨯=6350.1710mm ⨯ 假设p a =4cm ，则p e =y 下-p a =31-0.7-3=26.3(cm)=263(mm) 代入得：6626327.98100.7 2.450.1710578777()12633174.31050.1710pe N N ⨯-⨯⨯==+⨯⨯则所需预应力钢筋截面面积 p A 为： pep con lN A σσ=-∑式中：con σ——预应力钢筋的张拉控制应力；l σ∑——全部预应力损失值，按张拉控制应力的20%估算。
本示例采用1×7股钢绞线作为预应力钢筋，直径12.7mm ，公称截面面积98.72mm ，pk f =1860MPa ，pd f =1260MPa ，p E =1.95×510MPa 。
按《公预规》con σ≤0.75pk f ，现取con σ=0.70pk f ，预应力损失总和近似假定为20%张拉控制应力来估算，则 2578777555.66()0.20.80.701860pepep con concon lN N A mm σσσσ====-⨯⨯-∑采用7根1×7股钢绞线，即s φ12.7钢绞线，单根钢绞线公称面积98.72mm ，则p A =7×98.7=690.9（2mm ）满足要求。
（二） 预应力钢筋的布置预应力空心板选用7根1×7股钢绞线布置在空心板下缘，p a =40mm ，沿空心板跨长直线布置，即沿跨长p a =40mm 保持不变，见图1-5。
预应力钢筋布置应满足《公预规》要求，钢绞线净距不小于25mm ，端部设置长度不小于150mm ， 得螺旋钢筋等。
（三）普通钢筋数量的估算及布置在预应力钢筋数量已经确定的情况下，可由正截面承载能力极限状态要求的条件确定普通钢筋数量，暂不考虑在受压区配置预应力钢筋，也暂不考虑普通钢筋的影响。
空心板截面可换算成等效工字形截面来考虑：由22388381438.115()4k k b h cm π=⨯+⨯=得21438.115k kcm b h =33424138820.00686382567.1(8.064)195191.53()1212k k b h cm ⨯=+⨯⨯+⨯⨯+= 把21438.114k k cm b h =代入3112k k b h =4195191.53()cm ，求得k h =40.4cm,k b =21438.11435.6()40.4cm cm =。
则得等效工字形截面的上翼缘板厚度'f h ：'40.43110.8()22k f h h y cm =-=-=上 等效工字形截面的下翼缘板厚度f h ： 40.43110.8()22k f h h y cm =-=-=下 等效工字形截面的肋板厚度：'299235.627.8()f k b b b cm =-=-⨯= 等效工字形截面尺寸见图1-6。