习题十10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中.回路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率t rd d =80cm ·s -1收缩时,求回路中感应电动势的大小.解: 回路磁通 2πr B BS m感应电动势大小40.0d d π2)π(d d d d 2trr B r B t t m V 10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路,半径R =5cm ,如题10-2图所示.均匀磁场B =80×10-3T ,B 的方向与两半圆的公共直径(在Oz 轴上)垂直,且与两个半圆构成相等的角 当磁场在5ms 内均匀降为零时,求回路中的感应电动势的大小及方向.解: 取半圆形cba 法向为i , 题10-2图则cos 2π21B R m同理,半圆形adc 法向为j,则cos 2π22B R m∵ B 与i 夹角和B 与j夹角相等,∴45则 cos π2R B m221089.8d d cos πd dtBR t m V 方向与cbadc 相反,即顺时针方向.题10-3图*10-3 如题10-3图所示,一根导线弯成抛物线形状y =2ax ,放在均匀磁场中.B 与xOy 平面垂直,细杆CD 平行于x 轴并以加速度a 从抛物线的底部向开口处作平动.求CD 距O 点为y 处时回路中产生的感应电动势.解: 计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量aym yB x x y B S B 0232322d )(2d 2∴ vy B t y y B t m 21212d d d d∵ ay v 22∴ 212y a v则aByy a yBi 8222121i 实际方向沿ODC .题10-4图10-4 如题10-4图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环MeN 与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压N M U U .解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v 方向运动时0d m ∴ 0 MeNM即MN MeN又∵ba ba MNb a ba Iv l vB 0ln 2dcos 0所以MeN 沿NeM 方向,大小为 b a ba Iv ln20M 点电势高于N 点电势,即b a ba Iv U U N Mln 20题10-5图10-5如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以t Id d 的变化率增大,求:(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则(1)]ln [lnπ2d π2d π2000d ad b a b Ilr l r Ir l rIab bad dm(2)t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0 10-6 如题10-6图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆.令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转.整个电路的电阻为R .求:感应电流的最大值.题10-6图解: )cos(2π02t r B S B m∴ Bfr f r B r B t r B t m m i 222202ππ22π2π)sin(2πd d ∴ R Bf r R I m 22π10-7 如题10-7图所示,长直导线通以电流I =5A ,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线圈长b =0.06m ,宽a =0.04m ,线圈以速度v =0.03m ·s -1垂直于直线平移远离.求:d =0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向.题10-7图解: AB 、CD 运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势ADI vbvBb l B v d 2d )(01BC 产生电动势)(π2d )(02d a Ivbl B v C B∴回路中总感应电动势8021106.1)11(π2ad d Ibv V 方向沿顺时针.10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示),B的大小为B =kt (k 为正常).设t =0时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向.解: 22212160cos d klvt lv kt Blvt S B m∴ klvtt m d d即沿abcd 方向顺时针方向.题10-8图10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B的方向如题10-9图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0).解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0d dt ,0 ;题10-9图(a)题10-9图(b)在磁场中时0d d t,0 ; 出场时0d d t,0 ,故t I 曲线如题10-9图(b)所示.题10-10图10-10 导线ab 长为l ,绕过O 点的垂直轴以匀角速 转动,aO =3l磁感应强度B 平行于转轴,如图10-10所示.试求: (1)ab 两端的电势差; (2)b a ,两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob 上取dr r r 一小段 则320292d l Ob l B r rB同理302181d l Oa l B r rB ∴ 2261)92181(l B l B Ob aO ab(2)∵ 0 ab即0 b a U U∴b 点电势高.题10-11图10-11 如题10-11图所示,长度为b 2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间,并以速度v 平行于两直导线运动.两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ,两导线相距2a .试求:金属杆两端的电势差及其方向. 解:在金属杆上取r d 距左边直导线为r ,则b a b a Iv r r a r Iv l B v b a b a BA AB lnd )211(2d )(00∵ 0 AB∴实际上感应电动势方向从A B ,即从图中从右向左, ∴b a ba Iv U ABln 0题10-12图10-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间,一金属杆放在题10-12图中位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外.当t Bd d >0时,求:杆两端的感应电动势的大小和方向.解: ∵bc ab act BR B R t t ab d d 43]43[d d d d 21tab d d 2 t BR B R t d d 12π]12π[d d 22∴t B R R acd d ]12π43[22∵ 0d d t B∴ 0 ac即 从c a 10-13 半径为R 的直螺线管中,有dt dB>0的磁场,一任意闭合导线abca ,一部分在螺线管内绷直成ab 弦,a ,b 两点与螺线管绝缘,如题10-13图所示.设ab =R ,试求:闭合导线中的感应电动势.解:如图,闭合导线abca 内磁通量)436π(22R R B S B m∴t B R R i d d )436π(22 ∵ 0d d t B∴0 i,即感应电动势沿acba ,逆时针方向. 题10-13图题10-14图10-14 如题10-14图所示,在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab 于直径位置,另一导体cd 在一弦上,导体均与螺线管绝缘.当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向.试求: (1)ab 两端的电势差; (2)cd 两点电势高低的情况.解: 由 l S t B l Ed d d d 旋知,此时旋E 以O 为中心沿逆时针方向.(1)∵ab 是直径,在ab 上处处旋E 与ab 垂直∴ ll 0d 旋∴0 ab ,有b a U U(2)同理, 0d l E cddc旋∴0 c d U U 即d c U U题10-15图10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求:线圈与导线间的互感系数.解: 设长直电流为I ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为32300122ln π2d π2a a Iar rIa∴2ln π2012aIM10-16 一矩形线圈长为a =20cm ,宽为b =10cm ,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的互感.解:(a)见题10-16图(a),设长直电流为I ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为2ln π2d 2πd 020)(12Iar r Ia S B b b S∴6012108.22ln π2a N I N M H (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012 ,见题10-16图(b)∴ 0 M题10-16图题10-17图10-17 两根平行长直导线,横截面的半径都是a ,中心相距为d ,两导线属于同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l 的一段自感为l L 0In a ad .解: 如图10-17图所示,取r l S d d则a d aa d aa d d aa d Il r r rIl r l r I r πI )ln (ln 2πd )d11(π2d ))d (π22(0000a a d Illnπ0∴ a a d l I L lnπ0 10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H ,在它们的形状和位置都不变的情况下,反串联后总自感为0.4H .试求:它们之间的互感. 解: ∵顺串时 M L L L 221反串联时M L L L 221∴ M L L 415.04L L M H10-19图10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示,共有N 匝.试求: (1)此螺线环的自感系数;(2)若导线内通有电流I ,环内磁能为多少? 解:如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为ba a bNIhr h r NIlnπ2dπ2磁链a bIh N N lnπ220 ∴a bhN IL lnπ220(2)∵221LI W m∴a b hI N W m lnπ422010-20 一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为I .求:导线内部单位长度上所储存的磁能.解:在R r 时 20π2R I B r∴4222002π82R r I B w m 取 r r V d π2d (∵导线长1 l )则R Rm I R rr I r r w W 0204320π16π4d d 2。