必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====Q 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，，∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴)sin （150°-A ）.∴)[sinA+sin(150°)·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2；② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b 的取值范围为,8+考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：()()22sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A•=•, sin cos sin cos ,A A B B ∴=即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，2A B A B π∴=+=或.∴ABC V 为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B=2π”的导出过程。

例4在△ABC 中，如果lg lg lg sin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。

解：lg sin sin B B =-=Q . 又∵B 为锐角，∴B=45°.由lg lg 2c a c a -=-=得由正弦定理，得sin sin 2A C =,∵18045,A C =︒-︒-()2sin 135C C =︒-()2sin135cos cos135sin C C =︒-︒,C C =cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ ABC ∴V 为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC 中，求证2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++. 【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222a b c ，，转化为222sin ,sin ,sin A B C .证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：2222224sin 4sin =cos cos cos cos a b R A R BA B A B --++2224[cos cos ]cos cos R A B =+（1-A ）-(1-B)222(cos cos )4(cos cos )cos cos B A R B A A B-==-+同理2222224(cos cos ),cos cos 4(cos cos ).cos cos b c R C B B C c aR A C C A-=-+-=-+ 2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。

例6在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22c b ab -=. 【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒-Q2,.C B C B B =∴-=Q 又sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=Q2222222224(sin sin )4(sin sin )(sin sin )42sin cos 2cos sin22224sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C BR R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=••••=+-===∴右边等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

,,,2222222.A B CA B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1） (2)sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222cot .2A B C A B C A BC +++===(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.A B C A B C A B C +=-+=+=-考察点4：求三角形的面积例7在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C的对边，若2,,cos42B a C π===求△ABC 的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c ，再求面积。

解：由题意cos2B =23cos 2cos 1,25B B =-=∴B为锐角，43sin ,sin sin()sin()54B A B C B ππ∴==--=-= 由正弦定理得10,7c =111048sin 2.22757S ac B ∴==•••=【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,sin()sin ,cos()cos ;sin 2A BA B C A B C A B C π+++=+=+=-= cos,cos sin .222C A B C += 例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π=,求△ABC 的面积S 的最大值。

【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

解：11sin 2sin 2sin sin 22ABC S ab C R A R B C ==V g g g22sin sin [cos()cos()]2A B R A B A B ==--+21[cos()].22R A B =-+ cos()1,A B A B -==当即时，2max ()14444ABC S R ===V 【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。

解法1：cot cot ,2sin sin a ba b a A b B R A B+=+==Q 且（R 为△ABC 的外接圆半径）， sin cos cos sin ,1sin 21cos 2.A A B B A B ∴-=-∴-=-cos2cos20A B ∴-=sin 2sin 22cos()sin().cos()sin()0,cos()0sin()0.A B A B A B A B A B A B A B -=+-∴+-=∴+=-=Q 又或又∵A,B 为三角形的内角，,2A B A B π∴+==或22A B C ππ+==当时，；当A B =时，由已知得cot 1,,.42A ABC ππ=∴+=∴=综上可知，内角2C π=.解法2：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得， sin sin =cos cos A B A B ++， sin cos cos sin A A B B -=-，从而sin cos cos sincos sinsin cos,4444A AB B ππππ-=-即sin()sin().44A B ππ-=- 又∵0＜A+B ＜π，,44A B ππ∴-=-,.22A B C ππ∴+=∴=【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。

例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos 4cos 3A bB a ==，求a,b 及△ABC 的内切圆半径。

【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。

解：cos cos sin ,=,cos cos sin A b A BB a B A=由可得 变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴= 又,22,,2a b A B A B ππ≠∴=-∴+=Q∴△ABC 是直角三角形。

由2221043,a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得6,8.a b == 6810222a b c ABC +-+-∴==V 的内切圆半径为r=【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。

------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。