必修5第一章《解三角形》综合测试题（A ）及解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是 【 A 】A ．B ．．． 答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =.故选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于 【 D 】A ．o 105B ．o60 C ．o15 D ．o105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C=，得sin sin 2c A C a ==，则o 45C =或o135C =.故 当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值等于 【 D 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅=u u u r u u u r ||AB ⋅u u u r ||cos(BC πu u u r )B -= 1975()1935⨯⨯-=-.故选D .4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B==，得sin 2a A R =，sin 2bB R =，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A .5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =，6c =，o60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】 A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin 60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角 形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是 【 A 】A B ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin A =，故1242S =⨯⨯=.故选A .7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++tan A B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ．．2 D ．52答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即tan()A B +=，又A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.故选C .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分） 9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，则b =_________..解析：由cos B =，得sin B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA⨯==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =，o 120B =，则a =______..解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a +-0=，解得a =(舍去负值).11.如果ABC ∆的面积是222S =，那么C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan 3C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =，则sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.答案：3. 解析：由o11sin sin6022S bc A c ===，得4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =.故osin sin sin 3sin 60a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++13.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捉到一只小虫，然后向右转o105，爬行10cm 捉到另一只小虫，这 时它向右转o135爬行回它的出发点，那么x =____________.xABCo135o105解析：由题意作出示意图如图所示，则ABC ∠=ooo18010575-=， BCA ∠=ooo18013545-=，10BC =，故ooo1807545A =--=o 60，由正弦定理得o o10sin 45sin 60x =，解得x =(cm). 14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =-u r ，(cos ,sin )n A A =r，若m n ⊥u r r，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________.答案：6π或o30.解析：由m n ⊥u r r 得0m n ⋅=u r rsin 0A A -=，即sin 0A A =，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin a B b A c C +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin c A C a ===o 60C ∠=或o120. 当o 60C ∠=时，oo180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =+.当o 120C ∠=时，oo180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =.故1b =+，o 60C ∠=，o 75B ∠=或1b =-，o 120C ∠=，o 15B ∠=.16.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知BA AD ⊥，10AB =，BC =o60BAC ∠=，o135ADC ∠=，求CD 的长.解：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BACBCA BC⋅∠∠=o ==，因>BC AB ，故>CAB BCA ∠∠，故o 45BCA ∠=，故o75B =，由正弦 定理，得oo10sin 751)sin 45AC ==，在ACD ∆中，因o o 9030CAD BAC ∠=-∠=，由正弦 BDAAC定理，得o o sin 30sin135AC CD ==.答：CD 的长为2.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S是ABC ∆的面积，若4a =， 5b =，S =c . 解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=sin 2C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-. （1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =； （2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =.综上可知c .18.（本题满分14分）在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13. （1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积.解：（1）由sin sin cos B A C =根据正弦定理和余弦定理，得2222a b c b a ab+-=⋅，得222b c a +=，故ABC ∆是直角三角形.（2）由（1）知12a =，设最小角为α，则1sin 3α=，故cos3α=（舍去负值），故ABC S ∆=1111sin cos 121222233bc a a αα=⋅=⋅⋅⋅⋅=. 19.（本题满分14分）海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东o75，距离为A处看灯塔C 在货轮的北偏西o30，距离为由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东o120.求 （1）A 处与D 处之间的距离； （2）灯塔C 与D 处之间的距离. 解：由题意画出示意图，如图所示.（1）ABD ∆中，由题意得o 60ADB ∠=，o45B ∠=，由正弦定理得oosin 45sin 60AD =24= (海里).（2）在ABD ∆中，由余弦定理，得2222CD AD AC AD AC =+-⋅ocos302224=+-224⨯⨯，故CD =海里).答：A 处与D 处之间的距离为24海里，灯塔C 与D 处之间的距离为.● 以下两题任选一题作答20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数； （2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()2A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==12222⨯⨯=. 20.（本题满分14分）ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r1=.解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=u u u r u u u r ABC ∆的面积. 证：（1）因AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u r，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =.由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为<<A B ππ--，故0A B -=，故 A B =.解：（2）因1AB AC ⋅=u u u r u u u r ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-⋅=，即222b c a +-=2；又由（1）得a b =，故22c =，故c =解：（3）由||AB AC +=u u u r u u u r 22||||2||6AB AC AB AC ++⋅=u u u r u u u r u u r u u u r ，即2226c b ++=，故22c b +4=，因22c =，故b =ABC ∆是正三角形，故面积2ABC S ∆=⨯=.。