解三角形
1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=⎨⎪⎪+-=
⎪⎩
.
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot
A B C A B C A B C
+++===.、
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100°
C ．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2
+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角
B
（ ）
A ．B>60°
B ．B ≥60°
C ．B<60°
D ．B ≤60°
6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m
的值为
（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不定
7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面
的高度AB 等于
（ ）
A ．)
sin(sin sin αββ
α-a
B ．)
cos(sin sin βαβα-⋅a
C ．)sin(cos sin αββα-a
D ．)
cos(sin cos βαβ
α-a
8、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=12
7
, 则ΔABC 是______三角形.
9、在ΔABC 中，若S ΔABC =4
1 (a 2+b 2－c 2
),那么角∠C=______.
10、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
A B
D C
α
β
11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2
tanB ； ③sinC=B
A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2
)sin(A －B).
12． 在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
13． 在ABC V 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1
sin ,2
A =sin 2
B =，求::a b c
14． 在ABC V 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，
（1）求A 的大小；（2）若9a b c =+=，求b 和c 的值。

15． 如图，2AO =，B 是半个单位圆上的动点，ABC V 是等边三角形，求当AOB ∠等于多少时，四边形OACB 的面积最大，并求四边形面积的最大值．
16． 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，
=θ( )
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．
2
π
17． 在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①1cot tan =⋅B A
②2sin sin 0≤
+<B A
③1cos sin 22=+B A
④C B A 222sin cos cos =+
18． ．已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=u r r
，且1m n ⋅=u r r .
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B
B B
+=--，求C tan .
19． 已知向量x f x x x x ⋅=-+=+
=)()),4
2tan(),42sin(2()),42
tan(,2cos 2(令π
ππ
. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.
20．设向量a r ＝(sinx ，cosx )，b r ＝(cosx ，cosx )，x ∈R ，函数f(x)＝()a a b ⋅+r r r
.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥2
3
成立的x 的取值范围．
21． 已知函数
（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合。

（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
22． 已知，其中，且，若在时有最大值为7，求、的值。

参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
33
14 （11）4 （12）81
三、（13）分析：化简已知条件，
找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 2
2222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△AB
C 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++=Θ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦
定理：b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯222
22222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为222
2)sin()sin(b
a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A B
A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。