第一章 解三角形一、选择题1．在ABC ∆中，a =,03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ． 7．在ABC ∆中，已知3=b ，， 30=B ，则=a _ _． 8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos 3A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。

解：14．在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1) 求角A ； (2) 若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。

解:15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求m n +的最小值．解：16．如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20 s 后监测点C 相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B,C 到P 的距离，并求x 值； （2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.1 km ）解：高一下期中数学复习：必修⑤ 第一章 解三角形 参考答案一、选择题1．在ABC ∆中，a =,03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ D ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ C ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ A ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ B ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ D ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为7．在ABC ∆中，已知3=b ，， 30=B ，则=a _6或3_． 8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是(0,2)．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是等腰三角形.（2）若ABC △的形状是直角三角形.三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos 3A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解: (Ⅰ)因为cos 3A =,∴sin 3A =,则tan 2A =,∴22tan tan 21tan AA A==- (Ⅱ)由sin()23B π+=,得cos 3B =,∴1sin 3B =,则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=, ∴sin 2sin c Aa C==, ∴ABC ∆的面积为1sin 23S ac B ==. 12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围解：(1) 58222bcb c a -=-⇒542222=-+bc a c b ⇒54cos =A ⇒53sin =A(2) 65321sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20,由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 . (3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ， 则6)543(21=++=∆z y x S ABC ,)2(51512y x z y x d ++=++=, 又x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+，，，001243y x y x , 画出不等式表示的平面区域得：4512<<d .13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。

解：（I）cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，∴ cos cos 2cos a C c A b B +=.由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C ===代入得，2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=,即：sin()sin A C B +=∴sin 2sin cos B B B =.又在ABC ∆中，sin 0B ≠，∴1cos 2B =,0B π<<，∴3B π=.（II ）3B π=，23A C π∴+=∴222sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=-+-13331cos 2cos 2sin 21sin 2cos 22222A A A A A =--+=+-13sin(2)3A π=+-.203A π<<，233A πππ-<-<,3sin(2)123A π∴-<-≤, 22sin cos()A A C ∴+-的范围是1(,13]2-+.14．在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1) 求角A ； (2) 若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。

解: ⑴ ∵ 2222cos ,b a c B ac --=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C BA A A+=-又∵222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=， ∴2cos 2cos ,sin 2BB A--=而ABC ∆为斜三角形，∵cosB 0≠，∴sin2A=1. ∵(0,)A π∈，∴2,24A A ππ==.⑵ ∵34πB C +=，∴333sin sin cos cos sin sin 444cos cos cos πππC C CB C C C⎛⎫-- ⎪⎝⎭==, 222C 即tan 1C >，∵304C π<<，∴42ππC <<.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求m n +的最小值．解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =. （Ⅱ）m n +2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴2m n +22222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--． ∵π3A =，∴2π3B C +=， ∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，2m n +取得最小值12． 故m n+min22=． 16．如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20 s 后监测点C 相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B,C 到P 的距离，并求x 值； （2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.1 km ） 解：(1)依题意，PA －PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC －PB=1.5×20=30（km ）． 因此 PB ＝（x 一12）km ，PC=（18＋x ）km. 在△PAB 中，AB= 20 km ，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅同理，在△PAC 中，72cos 3xPAC x-∠= 由于cos cos PAB PAC ∠=∠ 即3327253x x x x +-=解得1327x =（km ）． (2)作PD ⊥a,垂足为D. 在Rt △PDA 中，PD =PAcos ∠APD=PAcos ∠PAB = 132332332755x x x⨯++⋅= 17.7≈（km ）． 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17. 7km.。