第一章 绪论
数值计算方法（分析） 能够做什么？
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究
科 学 实 验
科 学 计 算
计算数学
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在”
“数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求：
--会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
本课程上机环境--matlab
计算方法
程序设计
上机计算
结果
实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务。 数值计算方法——〉程序设计——〉计算结 果：根据数学模型提出求解的数值计算方法， 直到编出程序上机算出解，是计算数学的任 务。
数值计算方法重点研究：
求解的数值方法及与此有关的理论 包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析 ，计算时间的最小（也就是计算费用）,占 用内存空间最少。
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x 给定的曲 线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48
0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分称为第二பைடு நூலகம்椭圆积分,它不能用普 通方法来计算.
采用数值积分求解
应用问题举例
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实 三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实 三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实 二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一 秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗 之三。-------《九章算术》
R 6 8
4 2 N-S positions 0 0 图 7.8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
研究使用计算机求解各种科学与工程计算 问题的数值方法（近似方法），对求得的 解的精度进行评估，以及如何在计算机上 实现求解等。
数值分析课程中所讲述的各种数值方法在 科学与工程计算、信息科学、管理科学、 生命科学等交叉学科中有着广泛的应用
计算机解决科学计算问题时经历的 几个过程
反馈调整
实际问题
数学模型
下面给出的是中国1950 年到2000年的人口数， 我们的目标是预测未来 的人口数（数据量较大 时）
y 1t 3 2t 2 3t 4
s (t 1979 / 30 )
1950 55196
1960
1970 1980 1990 2000
66207
82992 98705 114333 126743
y 1s 2 s 3s 4
3 2
采用数据拟合求解
6、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的 信号
8 S6 6
Height
S5
( x, y, z, t ) 表示地球上
一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
4
S3
2
S4 S1
0 10 S2 5
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26
a11 a21 a n1
a12 a1n x1 b1 a22 a2 n x2 b2 an 2 ann x b n n
学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接
原因还是计算问题。
二、二十世纪计算数学的发展
数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
三、数值计算方法的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程数值解；？本课程 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法
Axb
解线性方程组问题
2、天体力学中的Kepler方程
x sin x t 0,0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的 函数.
超越方程，很难得出严格的分析解，但是，已经证明这 个方程存在唯一解。采用图解法、数值法或近似迭代法 求解
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f ( x , x , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , xn ) 0
F ( x) 0
记为: D R n R n , x ( x , x ,, x )T 其中， F 1 2 n
7、常微分方程初值问题
求解初值问题 2x dy y y dx y ( 0) 1 解 该方程是Bernoulli 方程，令u y 解得
2
解析解y 2 x 1。本题数值方法很多， 如 我们选择经典的四阶 K方法 : R
一、计算数学的产生和早期发展
综上，计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数
非线性方程与方程组的数值解法
4、已经测得在某处海洋不同深度处 的水温如下：
深度（M） 466 水温（oC）7.04 741 4.28 950 1422 3.40 2.54 1634 2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
插值法、最小二乘法
5、人口预测
数值计算方法
任课教师: 徐昱 xuyu@ 工程学院海洋工程系 1201
教材
海洋工程数值计算方法
参考书目（习题集）
数值方法(MATLAB版）(美国)Mathews 应用数值方法 使用MATLAB和C语言
Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （机械工业出版社）
数值分析(美国)David.Dincaid [C.数值算法].(美国)William.H.Press 数值分析与科学计算 Jeffery J.Leader 著，张威，刘志 军，李艳红等译，（清华大学出版社)
课程要求
高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的 专业基础课，工科硕士研究生的学位必修课--（掌握概念 ，方法。） 课程讲解将简化公式推导过程，重点放在讲解例题和编制 matlab程序将方法实现 每次课分两部分，第一个课时讲解概念，第二个课时讲解 例题和上机练习 本课程布置少量作业，学校若无要求则不安排期 中考试 期末考试范围不会超出课程范围，重点考察概念 的理解 原则上不安排答疑，有问题平时上机时问
Why Matlab？
第四代计算机语言的MATLAB，利用其丰富的函 数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出 来。MATLAB 最突出的特点就是简洁。MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学 、工程中常用的形式十分相似，MATLAB 用更直 观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C 和 FORTRAN 语言的冗长代码。MATLAB 给用户带 来的是最直观，最简洁的程序开发环境。