r*
因此
*
*
|x |
*
x 15
(x ) 2
*
y * 1000 ( y * ) 5
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2 (x ) 13.33% 15 5 * * r ( y ) 0.5% 1000 18
* r *
* 已知 e 2.718 28182 , 其近似值为 e 2.718 28, 例1. 求e*的绝对误差限 *和相对误差限 r*.
主要教材：
Ax b
i 2 ,3 , , n
封建湖、车刚明、聂玉峰编著
科学出版社
主要参考书：1.《数字分析与实验》 韩旭里、万忠 编著 科学出版社 2.清华《数值分析》 同步辅导及习题全解 李庆扬等 编著
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Ax b 第一章
i 2 ,3 , , n 绪论
§ 1.1 数值分析的对象与任务 § 1.2 误差基础知识
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
x1 , 2
b b 2 4ac 2a
b sqrt(b 2 4ac) 2a
2 n x x ex 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
y( x h ) y( x ) y( x ) h
a11 a21 A an 1
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a12 a1 n 舍入误差分析及数值稳定性 § 1.3 a22 a2 n i 1 b l x i ij j j 1 an 2 ann x i lii 3
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系 数值问题的性态与误差的关系 数值算法设计原则
解:
绝对误差 E e* e 0.000 001 82
|E| 0.000 001 82 0.000 002 2 106
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* 2 106 6 * * 2 10 和 r 并不 * r * 是唯一的 | e | 2.718 28 2 106 6 0.71 10 2.718 28
经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 二、误差和误差限
,称 定义1. 设x为准确值, x *为x的一个近似值
e( x* ) x* x 为近似值x*的绝对误差, 简称误差, 可简记为e* .
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因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
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研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法
因此 e( x* ) x* x 往往也无法求出 而只能知道 e( x* ) x* x 绝对值的某个上界,即
| e( x* ) || x* x | ( x* )
数值 ( x )称为x 的 绝对误差限或误差限, 简记为 *
* *
显然 且
0
*
x* * x x* * x x* *
*
x x er ( x ) r ( x* ) *r x
* *
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relative error
为近似值x *的相对误差限
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相对误差限
绝对误差限

* r

*
| x|
往往未知
代替相对误差 代替相对误差限
* * e ( x ) x x * * er ( x ) * x x*
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三、数值算法
数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点:
1.目的明确
2.定义精确 3.可执行 4.步骤有限
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算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定 对算法的每一步都必须有精确的定义
算法中的每一步操作都是可执行的 算法必须在有限步内能够完成解题过程
*
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24
定理1．若x *作为x的近似值的表达式为
x* 0.a1a2 am 10k (1) 若x*有n位有效数字, 则其相对误差e* r 满足 1 * | er | 101 n 2a1 (2) 反之, 若x*的相对误差e* r 满足 1 * | er | 101n 2(a1 1) 则x *至少有n位有效数字
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4
§ 1.1 数值分析的对象与任务
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:
总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计
数值方法研究的是将数学模型化为数值问题， 并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法
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一、数值问题 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述
即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
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输出的数据是解向量 x , 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
y 2 x 3 y( 0 ) 0
即
* * y * f ( x1 , x2 )
11
§ 1.2 误差基础知识
一、误差的种类及来源 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别. 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 12
7 0 . 5 10 0.000 000 04
3.141 592 7
*
可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位
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三、有效数字
x的近似值x *的下列形式称为规格化 形式：
x* 0.a1a2
值(p n) , 若有
ap 10k
a1 0
x 999.9 0.9999 10
* 1 * 2
3
4 0 . 10001 10 x 1000 .1
* | e1 || x1 x | 0.1 0.5 1033 * | e2 || x2 x | 0.1 0.5 104 4
* 所以x1 有3位有效数字而x2却有4位有效数字
准确值 x 的范围
16
或
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若对于 x 15 2
y 1000 5
哪个更精确呢?
x * 15
y * 1000
x * 15吗？
* *
( x* ) 2 * ( y ) 5
* 设 x 为准确值 , x 为x的一个近似值 ,称 定义2.
e( x ) x x er ( x ) x x 为近似值x*的相对误差, 可简记为e*r .
|4 3.95| 0.05 0.5 1012 |x x|
* 3
* * 根据定理 1, 知x1 , x2 都至少有两个有效数字 * * 即x1 , x2 都具有两个有效数字
* x 字吗? 实际上只1有个23 3也至少具有两个有效数 华长生制作
例4. 判断x 1000 的下面两个近似值的有 效数字位数:
19
3,5,7 位数的近似值 , 例2. 若经四舍五入取小数点后 求绝对误差限 .
解:
*
3.141 592 65
Байду номын сангаас| * | *
3.142
0.000 407
0.5 103
* 3.141 59
0.000 002 65 0.5 105
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
过失误差
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3.1415927
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免
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数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差
故由定理式知 n =2，即 x 至少有2位有效数字。


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例6. 解:
要使 20的相对误差不超过 0.1%，应取 几位至少有效数字？
20的首位数是 a1 4.
设 20的近似值x * 有n位有效数字 .
则有定理1,相对误差满足
| x * x | 1 | e | 101n 0.1% | x* | 2 a1
* 3.141 59 有6位有效数字
3.141 592 7 有8位有效数字
*
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例3.
设x 3.95 有3个近似值
* x1 4.0 * x2 3.9
* x3 4
* |4.0 3.95| 0.05 0.5 1012 |x1 x| * |x2 x| |3.9 3.95| 0.05 0.5 1012
* r
1 101n 0.001 24
n 3.097
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华长生制作 4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%. 即应取