第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021
第二类曲线积分的计算 定义
设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中
A =n M
B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为
}{max 1i n
i S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记
11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .
在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限
∑=→∆n
i i
i
i
T x
P 1
),(lim
ηξ∑=→∆+n
i i
i
i
T y
Q 1
),(lim
ηξ
存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为
⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
也可记作
⎰⎰+L
L
dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+AB
AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=
则上述记号可写成向量
形式:⎰⋅L
s d F
.
(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿
空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L
),,(),,(),,(++⎰
按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的
方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰
⎰
-=BA
AB
,定积分是第二类曲线积分中当
曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场
()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空
间曲线AB L 上的第二类曲线积分
⎰++AB
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.
与第一类曲线积分的区别
首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是
20
1
(,)lim (,)n
i i i
l
i f x y ds s λξη→==∆∑⎰
第二类曲线积分就是
1
(,)(,)lim (,)(,)n
i
i
i
i
i
i
l
i P x y dx Q x y dy P x Q y λ
ξηξη→=+=∆+∆∑⎰
（1）
这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的
s s ，s s 是一小段弧的弧长，s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分
和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量s s =s s −s s −1，s s =s s −
s s −1，s s 与s s 是可正可负的。

当积分的路径反向时，s s 不变，而s s 与s s 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这
一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。

计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。

设曲线的参数方程为{
s =s (s )
y =y (t )
α≤t ≤β
则第一类曲线积分的计算公式为
ds ===
这里要注意α≤β，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有ss >
0，也就有|ss |=ss ，这样才有上述计算公式。

这个问题在计算中也
要特别注意。

沿曲线上的点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。

历年真题
1、设曲线L :s (s ,s )=1，s (s ,s )具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的选项是
(A)∫s (s ,s )ss Γ (B)∫s (s ,s )ss Γ
(C)∫s (s ,s )ss Γ (D)∫s s ′(s ,s )ss Γ+s s ′(s ,s )ss
(2007，数一，
4分)
【解析】
设点s ，s 的坐标分别为s (s 1,s 1)，s (s 2,s 2)，则有题设可知
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
=s 2−s 1>0
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
=s 2−s 1<0
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
>0
∫s s′(s,s)ss Γ+s s′(s,s)ss=∫0ss
Γ
+0ss=0
答案为B。

2、计算曲线积分∫sss2sss+2(s2−1)sss
s
，其中s是曲线
s=ssss上从点(0,0)到点(s,0)的一段。

(2008，数一，9
分)【解析】
∫sss2sss+2(s2−1)sss
s
=∫sss2sss+2(s2−1)ssssssssss
s
=∫s2sss2sss=−s s2
2
sss2s|
s
+∫ssss2sss s
=−s2
2
+
s
2
sss2s|
s
−
1
2
∫sss2sss=−
s2
2
s
3、设s是柱面s2+s2=1与平面s=s+s的交线，从s轴正方向往s轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分∮ssss+sss+
s
s2
2
ss=
(2011，数一，4分)【解析】
采用斯托克斯公式直接计算
∮ssss +sss +s 2
2ss
s
=∬
sssss +sssss +ssss
s =s +s
=∬(1−s −s )ssss
s 2+s 2≤1
=∫
ss ∫(1−sssss −sssss )sss =s 1
2s
4、已知s 是第一象限中从点(0,0)沿圆周s 2+s 2=2s 到点(2,0),再沿圆周s 2+s 2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分s =∫3s 2sss +s (s 3+s −2s )ss
(2012，数一，10分)
【解析】
s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s )ss +s 2s 2ss
s
=∬ssss −∫(−2s )ss =
s
2
−40
2
s
5、已知s 的方程{s =√2−s 2
−s 2
s =s
，起点为s (0,√2,0)，终点为
s (0,−√2,0)，计算曲线积分s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s s )ss +s 2s 2ss
(2015，数一，10分)
【解析】
曲线L 的参数方程为：{
s =ssss
y =√2z =cosθ
sinθ
s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s )ss +s 2s 2ss
s
=∫
[−(√2ssss +ssss )ssss
−
s 2
s 2
+√2ssss √2ssss
−2sss 2ssss 2sssss ]ss =−√2∫
sss 2
sss =
√2
2
s −
s 2
s 2。