§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a xb ≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()l x y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为(),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为xyS σ=。
（2）若曲面的方程为()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v v G x y z =++，则该曲面块的面积为S ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
二 化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。
曲面S 的方程为(),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则()(),,,,,xySx y z dS x y f x y σφφ=⎡⎣⎰⎰⎰⎰。
（2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。
若曲面的方程为()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v v G x y z =++，则()()()(),,,,,,,Sx y z dS x u v y u v z u v φφ∑=⎡⎣⎰⎰⎰⎰。
例：计算()Sx y z dS ++⎰⎰，S 是球面2222x y z a ++=，0z ≥。
例：计算SzdS ⎰⎰，其中S 为螺旋面的一部分：()cos sin 0,02x u vy u v u a v z v π=⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪=⎩。
注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例：I=S，S 是球面，球心在原点，半径为R 。
§3 第二类曲线积分一 变力做功和第二类曲线积分的定义1.力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功。
先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得ABW F ds =⋅⎰。
2. 第二型曲线积分的定义定义 1 设L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设(),,f x y z 是定义在L 上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A 开始用分点(),,i i i i A x y z 分成n 个有向弧段1i i A A +，直至终点B 。
且设1i i i x x x +∆=-。
在每一弧段1i i A A + 上任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式：()()11,,n ni i i i i i i i f P x f x σξηζ===∆=∆∑∑。
其中()1111,,A x y z 为起点A ，()1111,,n n n n A x y z ++++为终点B 。
设{}1max i i iA A λ--------+=，这里1i i A A --------+表示有向线段1i i A A --------+的长度。
若当0λ→时，和σ有极限I ，且它与L 的分法无关，也与点i P 的选择无关，则称I 为(),,f x y z dx 沿曲线L 按所述方向的第二类曲线积分，记作(),,LI f x y z dx =⎰ 或 (),,ABI f x y z dx =⎰。
注：如果向量()()()()(),,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为()()(),,,,,,LI P x y z dx Q x y z dy R x y z dz =++⎰。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。
这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。
这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二 第二类曲线积分的计算设曲线AB 自身不相交，其参数方程为：()()()()0,,x x t y y t z z t t t T ===≤≤。
且设AB 是光滑的。
设当参数t 从0t 调地增加到T 时，曲线从点A 按一定方向连续地变到点B 。
设函数(),,P x y z 定义在曲线AB 上，且设它在AB 上连续。
则()()()()()00,,,,'T L t P x y z dx P x t y t z t x t dt =⎡⎤⎣⎦⎰⎰。
（*） 注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。
注：如果向量()()()()(),,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为()()()()()()()()()()()()()()(){}00,,,,,,,,',,',,'LT t P x y z dx Q x y z dy R x y z dzP x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt++=++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰例：计算积分()Lxydx y x dy ++⎰, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分从点A 到点B 或闭合, 路径为（1）直线段AB ；（2）抛物线1)1(22+-=x y ；（3）折线闭合路径A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 )。
. 例：计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L :（1）沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )； （2）沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 )；（3）沿折线封闭路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0). 例：计算第二型曲线积分I =2()Lxydx x y dy x dz +++⎰, 其中L 是螺旋线t a x cos =，bt z t a y == , sin ，从0=t 到π=t 的一段。
三 两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。
两者之间的联系式为()()()()()()()()(){},,,,,,,,cos ,,,cos ,,,cos ,ABABP x y z dx Q x y z dy R x y z dzP x y z t x Q x y z t y R x y z t z ds++=++⎰⎰例：证明：对于曲线积分的估计式为(),lPdx Qdy LM L +≤⎰式中为曲线段的长度(),max x y lM ∈=利用这个不等式估计：()222222R x y R ydx xdyI xxy y+=-=++⎰并证明lim 0R R I →∞=。
例：设平面区域D 有一条连续闭曲线L 所围成，区域D 的面积设为S ，推导用曲线积分计算面积S 的公式为：12LS xdy ydx =-⎰。
§4 第二类曲面积分一 曲面的侧的概念 1．单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。
2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 )cos , cos , (cos γβα±=, 则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >γ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧. 二 第二类曲面积分的定义 先讨论由显式方程(),z z x y =表示的无重点的光滑曲面S ,并设S 在XY 平面上的投影为边界由逐段光滑曲线T 所围成的区域xy σ。
设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。
现在将有向曲面S 以任何方法分割为n 小块()1,2,Si i n =。
设i G 为i S 在XY 平面上的投影，从而也得到区域xy σ的一个相应分割。
如果取的是上侧，这时所有i G 算作正的。
如取下侧，这时所有i G 算作负的。
设有界函数(),,f x y z 定义在S 上，在每一小块i S 任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式()1,,ni i i i i f D σξηζ==∑其中i D 表示i G 的面积。
由上述所见，i D 是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。
设i d 为i S 的致敬，记{}max i id λ=。
若当0λ→时，σ有确定的极限I ，且I 与曲面分割的方法无关，也点i P 的选择无关，则称I 为(),,f x y z dxdy 沿曲面S 的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为(,,)SI f x y z dxdy =⎰⎰。
注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：()()(),,,,,,SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰。