对坐标的空间曲线积分的计算通常采用参数法或利用 Stokes 公式, 但对某些特定的空间曲线 积分也可以将其转化为平面曲线的积分, 因而也就简化了计算步骤。 考虑如下曲线积分
I = P (x , y , z ) d x + Q (x , y , z ) dy + ∫
c
R (x , y , z ) d z
≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面被平面 x + y + z =
解 由题设知 C 的正向沿 z 轴的正方向看去为反时针方向。 3 3 由x + y + z = 知z = - x - y , dz = - dx - dy , 故 2 2 9 9 ( + x 2 + 2x y - 3x - 3y ) d x + ( 3x + 3y - y 2 - 2x y ) dy + I = c′ 4 4 (y 2 - x 2 ) ( - dx - dy ) = 9 ( 2x 2 - y 2 + 2x y - 3x - 3y + ) d x + ( x 2 - 2y 2 - 2x y + 3x + 3y c′ 4 其中 c′ 为 c 在 x oy 平面上的投影, 其方向为逆时针的。
, 其方向为顺时针的。
(∮
c′
2x + y + 2) d x + ( 3x - 2y - 2) d y = - 2
D xy
κdx dy = -
2Π
故所求积分 I = - 2Π 。 例 2 计算 I =
= 2 与柱面 x +
y
(y ∮
L
2
- z 2 ) d x + ( 2z 2 - x 2 ) d y + ( 3x 2 - y 2 ) d z , 其中 L 是平面 x + y + z
κ ( x - y + 6) d x d y 由对称性知 ( x - y ) d x d y = 0, 又 D κ
- 2
D x= - 24。
x + y = 4y
2 2
例 3 求曲线积分 I =
∮
L
y z d x + 3z x d y - x y d z , 其中 L 是曲线
( 2001 年全国硕士研究生入 = 1 的交线, 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向。
学试题) 解 由 x + y + z = 2 知 z = 2 - x - y , dz = - dx - dy , 故
Ξ
收稿日期: 2001- 03- 20
高等数学研究 V o l15, N o 11 24 STU D IES I N COLL EGE M A TH EM A T ICS M a r. , 2002
( 2) {Q [ x , y , Υ( x , y ) ] + R [ x , y , Υ( x , y ) ] Υ ′ y ( x , y ) ]}d y 其中 c′ 为 c 在 x oy 平面上的投影曲线, c′ 的方向与 c 的方向一致 ( 即 c 上顺次两点对应 c′ 同一序向
的两点) 。 下面我们以研究生入学试题为例来说明这一类曲线积分的计算, 从这些例子可看出本文介绍 的这一方法具有有一定的代表性和实用性。 例 1 计 算 曲 线 积 分 I =
其中 L ′ :
x
+
y
= 1
z = 0 若L ′ 在 x oy 平面上所围区域为 D x y , 则由 G reen 公式知
, 其方向为逆时针的。
∮(L′
4x 2 + y 2 - 2x y + 4x + 4y - 4) d x + ( - 2x 2 + 3y 2 + 4x y - 8x - 8y + 8) d y =
y ) d x + ( 6x y + 3x ) d x
2
L′
其中 L ′ 为:
x + y = 4y
2
2
z = 0 若L ′ 在 x oy 平面上所围区域为 D x y , 则由 G reen 公式知
, 其方向为逆时针的。
∮(3y
L′
2
+ y ) d x + ( 6x y + 3x ) d x = 2
( 1)
其中 c:
F (x , y , z ) = 0 z = Υ( x , y )
, 而 P , Q , R , F , Υ对其各变元均具有一阶连续的偏导数。
利用曲线积分的定义可以得到 I =
{P [ x , y , Υ( x , y ) ] + ∫
c′
′ R [ x , y , Υ( x , y ) ] Υ x ( x , y ) }d x +
D xy
κdx dy =
8Π
故所求积分为 I = 8Π 。 例 4 计算 I =
(z ∫
c
2
- y 2 ) d x + ( x 2 - z 2 ) d y + ( y 2 - x 2 ) d z , 其中 c 为立方体 0 ≤ x ≤ 1, 0
3 所截的曲线, 曲线正向为沿 x 轴正方向看去为 2 ( 1981 年南京工学院硕士研究生入学试题) 反时针方向。
∮ ∮
9 ) dy 4
3 若 c′ 在 x oy 平面内所围区域为 D x y , 则由 G reen 公式知 I = 6 d x d y , 而 D x y 的面积为 , 故所 4 D
xy
κ
3 求积分为 I = 6 × = 4
9 。 2
I =
∮[ y - (2 - x - y ) ) ]dx + [ 2 (2 - x ∮(- 4x + y - 2x y + 4x + 4y - 4) dx +
2 2
L′
y) -
2
x ]d y -
2
( 3x 2 - y 2 ) ( d x + d y ) =
2
2
L′
( - 2x 2 + 3y 2 + 4x y - 8x - 8y + 8) d y
3y - z + 1 = 0
, 且从 z 轴
( 浙江大学 1981 年硕士研究生入学试题) 正向看 L 是沿反时针方向。 解 由 3y - z + 1 = 0 知 z = 3y + 1, d z = 3d y , 故
I =
∮(3y ∮(3y +
L′
2
+ y ) d x + 3x ( 3y + 1) d y - 3x y d y =
(2 - x ) dx + ∮ ( - 2x + y + ∮
c′ c′
( 2x - y - 2) d y + ( x - y ) ( - d x + d y ) = 2) d x + ( 3x - 2y - 2) d y
其中 c′ :
x + y = 1
2
2
z = 0 若 c′ 在 x oy 平面上所围区域为 D x y , 则由 G reen 公式知
x + y = 1 x y + z = 2
2 2
(z ∮
c
y ) dx +
(x -
z ) dy +
(x -
y ) dz , 其 中 c 是 曲 线
( 1997 年全国硕士研究生入学试 , 从 z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针的。
题) 解 由 x - y + z = 2 知 z = 2 - x + y , 从而 d z = - d x + d y , 故 I =
V o l15, N o 11 高等数学研究 STU D IES IN COLL EGE M A TH EM A T ICS M a r. , 2002 23
方法与技巧
一类曲线积分的计算方法
Ξ
苏化明 苏灿荣 ( 合肥工业大学数学与信息科学系 合肥 230009)