第三章 信号的采样与重构

虽然自然界中存在离散时间信号，但是最 常见的还是连续时间信号。

采样

连续时间信号的处理分析往往经由对之采 样后的离散时间序列处理完成的。

计算机

利用离散处理后的结果往往需要在连续域 表达出来，便于接收和理解

重构
本章要解决的问题




采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？ 如何无失真恢复原始信号？ 时域采样导致了信号频域发生了何种变化？ 采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行 速率的变化？ 离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？ 如何提高信号处理的性能？



xc (nT ) (t nT )e
j ( T ) n
j t
dt
X ( j) | T X s ( j) X ( j) X s ( j) | / T
1 2k X ( j ) X c ( j j ) | / T T n T 1 ( 2k ) Xc( j ) T n T
跟踪滤波器
xn (t )
采样
xn (n)
f 0n

2n 1 B 2
f S 2B

当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就 先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所 感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混 叠，亦称之为抗混叠滤波器。 如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对 全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分 析，这正是软件无线电的根本出发点。
( n
0
)
1 Xs() Xc() * S () 2 1 Xc() * ( n 0 ) T 1 T

Xc( n


0
)
x s ( t )傅里叶变换是由 x c ( t ) 的傅里叶 变换按整数倍的采样频率移位，然后 叠加起来得到，即周期性延拓。
A/D器件是理想C／D转 换器的工程近似。
调制器+序列的转换 xc(nT)是连续冲激串的冲激面积，它除了在整倍数T时刻 以外都为零，包含有物理时间的概念； x(n)是以整数变量n给出的，引入了时间归一化，x(n)没 有任何采样率的信息。
一个连续时间信号两种采样
采样的不确定性

采样一般是不可逆的


f s 2B
当 f 0 f H / 2，B f H 时，取n=0， f s 即为奈 氏低通采样速率。
推论：

4 f0 fs 2B 2n 1
由带通采样定理可知，若要用最低采 样速率即两倍带宽对信号进行采样， ( 2n 1) B f 其信号中心频率必须满足： 2
0

信号最高(或最低)频率是带宽整数倍。
fs/4
kfs
B
a)
fs 4 f0 f0 k * fs fs 4 4k 1
fs
fL f0 fH
-fs/4
kfs
B
fs
fL f0 fH
b)

fs 4 f0 f0 k * fs fs 4 4k 1
奈氏带通采样定理（欠采样）

当
时，若采样率满足 4 f0 fs （n=0,1,2…） 2n 1 则可以无失真的从采样信号中恢复原 始信号
xr (t ) xs (t ) hr (t ) x(n) (t nT ) hr (t )

x(n)hr (t nT )


sin( (t nT ) ) T x ( n) (t nT ) T

注：


理想重构信号在各采样点上与原连续信 号有相同的数值，并且与采样速率无关。 如果原始信号的采样没有发生频谱混叠， 则采样重构后的信号在采样点以外无失 真；若发生混叠，则采样点之间的信号 将发生失真。

奈氏带通采样定理


奈氏低通采样定理只讨论了频谱分布 在(0，f H)上的基带信号的采样问题 如果信号的频率分布在某一有限的频 带( f L，f H)上时，那么该如何对这样的 带限信号进行采样呢?
fL , fH
存在的问题

当 f H B f H f L 时，信号的最高频 率远大于带宽，如果仍然按奈氏低通 采样率进行采样，则：



采样频率很高，现实中很难实现； 后处理的速度也满足不了要求； 有用信号仅处于有限频段，资源浪费

能否采用比奈氏低通采样率更低的速 率来采样呢?
讨论：

1、当 f s 2B 时
fs
B
fL f0 fH
信号频谱必然混叠，无法恢复原始信号

2、当 f s 2B 时
fs B
fL f0 fH
1、不一定能够由采样后的信号恢复原始信号 2、实信号频谱区间是正负对称的，从而其搬移 之后的频谱亦是正负对称的，要使其频谱不发生 混叠，只能符合以下的两种情况
x(n )
序列到冲 激串转换
调制 逆过程
x r (t )
x s (t )
采样周期T

采样的第二步和重构的第一步湮灭了
理想重构
x(n) xc (nT )
xr (t )
信号的重构系统物理和数学模型
D/C
x(n)
序列到冲 激串转换
x s (t )
理想重构 滤波器 H r ( j)
x r (t )
(2 NT ) c
1、带限输入，并且满足采样定理整个系统将表现为一个 线性时不变连续时间系统 2、截止频率既依赖为wc，又与T有关。当利用固定的离 散时间低通滤波器而改变采样周期T时，就能实现具有可 变截止频率的连续时间低通滤波器
作业

4.2 4.3 4.4 4.5 4.8 4.20

任何一个中心频率为 f on (n=0，1，2，3，…),带 宽为B的带通信号均可以用同样的采样频率 f s 2B 对信号进行采样，这些采样均能准确地表示或者重 新恢复出位于不同频段(中心频率不同)的原信号。

前提：只允许在其中的一个频带上存在信号，而不允许 在不同的频带上同时存在信号。
x(t )
为保证采样不丢失信息，该做何约束？
3.1.2、采样的频域表示
xs (t ) xc (t ) s(t ) xc (nT ) (t nT )

s(t ) Fn e jn0t


0 2 / T
2 S ( ) T

1 T /2 Fn s (t )e jn 0t dt T T / 2 1 T /2 (t )e jn 0t dt 1 / T T T / 2
x r (t )
Yr(j) H r(j) Ys(j) H r(j) Y (e j ) | T
29
Yr(j) H r(j) Ys(j) H r(j) Y (e j ) | T

假设离散时间系统是LTI
Y(e ) H (e ) X (e )
Yr ( j) Hr ( j)H (e jT ) X (e jT )

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
采样和重构 连续信号的离散处理 变速率处理（抽取和内插） 连续信号离散化处理的若干问题 过采样和噪声成形技术
3.1.1 理想周期采样

s (t )
(t nT )


典型的周期采样为冲激脉冲采样，亦 称理想采样，形式如下：
Yr ( j) H r ( j) H (e
jT
j
j
j
1 2 k ) X c ( j j ) T k T
输入是带限的， 采样率满足奈奎斯特定理 在C/D中即使有混叠发生，只要H(ejw)不通 过这些混叠的分量，结论仍正确
jT H ( e ) X c ( j), / T Yr ( j) /T 0,
3.1.3 采样定理

奈氏低通采样定理 假设有一个（实）带限信号 x ( t ) ，其 正频带限制在（0，f H）内，B= f H ， 如果以不小于 f s 2 f H 的采样速率对信 号进行等间隔采样，则得到离散时间 采样信号 x ( n ) x ( n T s ) 可以不失真的完 全恢复原始信号。

带通采样把位于不同频带的信号都用位于 (0，B)上相同的基带信号来表示，但是：


奇数通带上的高频分量对应基带上的低频分量， 奇数通带上的低频分量对应基带上的高频。 偶数频带与采样后的数字基带谱是高、低频率 分量一一对应的。
3.2 离散与连续LTI系统的等效关系

由信号重构的讨论可知
X r(j) H r(j) X s(j) H r(j) X(e j ) | T
xs (t ) xc (t ) * s(t ) xc (nT ) (t nT )

x(n) xc (nT )

物理模型
C/D
x(n) xc (nT )
xc (t )
数学模型
s (t )
xs (t )
xc (t )
冲激串到时间 序列的转换
x(n) xc (nT )
204教研室 孙国梁
n
x (nT )e
c
X ( j )
n
jn x ( n ) e

北京航空航天大学
北京航空航天大学
204教研室 孙国梁
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3.1.3 信号重构
s (t )
x c(t )
x s(t ) 冲激串到离散 x(n ) xc(nT ) 时间序列的转换