2.3连续信号的采样 2.3.1连续信号的采样原理信号采样原理图如图1 所示：图1 信号采样原理图由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nTt t s)()(δδ其傅立叶变换为∑∞-∞=-n s sn )(ωωδω，其中ss T πω2=。
由于)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换函数，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ss n s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω，)(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。
因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示：沈阳大学⑵取样频率不能过低，必须满足m s f f 2>（即m s ωω2>），或者说取样间隔不能太长，必须满足m s f T 2/1<，否则将会发生混叠。
当采样频率m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。
则采样离散信号)(*t ε能无失真地恢复到原来的连续信号)(t ε。
一个频谱在区间),(m m ωω-以外为零的频带有限信号)(t f ，可唯一的由其在均匀间隔 s T )21(ms f T <上的样点值)(s nT f 所确定。
根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理推出频域采样定理。
一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的重复周期m t T 21≥，或频域间隔m t f 2121≤=πω（其中112T πω=）。
采样信号)(t f s 的频谱是原信号频谱)(ωj F 的周期性重复，它每隔s ω重复出现一次。
当m s ωω2>时，不会出现混叠现象，从而能从采样信号)(t f s 中恢复原信号 ()t f 。
连续信号与采样信号(m s ωω2>)时的比较如图3所示：连续信号与采样信号(m s ωω2=)时的比较如图4所示：连续信号与采样信号(m s ωω2<)时的比较如图5所示：图3连续信号与采样信号(m s ωω2>)时的比较沈 阳 大 学图4连续信号与采样信号(m s ωω2=)时的比较图5连续信号与采样信号(m s ωω2<)时的比较2.3.3信号采样采样器的作用是把连续信号变为脉冲或数字序列。
一连续信号f (t)经采样器采样后变为离散信号的过程如图6所示：沈 阳 大 学沈阳大学奈奎斯特间隔。
根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：()()()()()()()()()()][][*][*][*][scn scs c css n s t s jw s nT t w Sa nT f w T t w Sa w T nT t nT f t h f jw H IFT F IFT t f -=-===∑∑∞-∞=∞-∞=ππδ式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。
利用MATLAB 中的抽样函数来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：()()()s n s nT t nT f t f -=∑∞-∞=δ[]*[⎪⎭⎫⎝⎛t w Sa w T c csππ] =()()][sin s cn s cs nT t w c nT f w T -∑∞-∞=ππ3.课程设计的主要内容 3.1详细设计过程3.1.1 Sa(t)的临界采样及重构⑴实现程序代码：当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m s ωω2=时，称为临界采样。
修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的临界采样及重构程序代码；wm=1; %升余弦脉冲信号带宽 wc=wm; %频率 Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率n=-100:100; %定义序列的长度是201 nTs=n*Ts %采样点沈 阳 大 学f=sinc(nTs/pi); %抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); %信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;⑵程序运行运行分析与结果图①程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函数生成函数Sa(t)Pi %圆周率n=-170:170; %时域采样点t=-45:Dt:45 %产生一个时间采样序列fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))) %信号重构sinc(t1/pi) %绘制f1的非的非零样值向量plot(t,fa) %绘制fa的图形stem(t1,f1) %绘制一个二维杆图②程序运行结果图如图7所示：沈阳大学图7)(t Sa 的临界采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。
当t 选取的数据越大，起止的宽度越大。
3.1.2 Sa(t)的过采样及重构⑴实现程序代码当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m s ωω2>时，称为过采样. Sa(t)的过采样及重构程序代码：wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm; ws=2*pi/Ts;沈 阳 大 学沈阳大学图8)(t Sa 的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行分析：将原始信号分别修改函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指数信号e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
3.1.3 Sa(t)的欠采样及重构⑴实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m s ωω2<时，称为过采样。
利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。
Sa(t)的欠采样及重构程序代码：wm=1;wc=wm;Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-20:0.5:20沈 阳 大 学f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号sa(t)');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采样信号与原信号的误差error(t)');⑵程序运行运行分析与结果图①程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函数生成函数Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi)); %求重构信号与原信号误差f1=sinc(t1/pi); %f1的非零样值向量②程序结果图如图9所示：沈阳大学沈阳大学沈阳大学。