2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107 2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝27．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．9010．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是分．13．（3分）化简：xx x -+-2422＝．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝cm ．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．19．（8分）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2＝2，则成绩波动较大的是队．甲21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB 在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107【解答】解：6400000＝6.4×106，故选：C．2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【解答】解：面积为3的正方形的边长b的值为3，∵1＜3＜2，∴实数3的值在整数1和2之间．故选：B．3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：∵﹣1＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；又∵﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；故选：D．6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝2【解答】解：A、m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2mn）2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．7．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，所以α的余角为75°，故选：B ．9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．90【解答】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：24072×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D ．10．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥l 4于D ，过点B 作BE ⊥l 4于E ，设l 1，l 2，l 3，l 4间的距离为1，∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC BCE CAD BEC ADC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BCE 中，BC ＝1322=+CE BE ，∴sin α＝13132132==BC BE ．故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【解答】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是81分．【解答】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．13．（3分）化简：x x x -+-2422＝x +2．【解答】解：x x x -+-2422＝2-4-22x x x -＝24-2-x x =2)2)(2(--+x x x ＝x +2．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为10．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，AD 是角平分线，AD ＝12，∴BC ＝2BD ，AD ⊥BC ．在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+122＝132，解得BD ＝5，∴BC ＝10．故答案为：10．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝4.8cm ．【解答】解：∵在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，∴菱形的面积＝21×8×6＝24cm 2，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴AD ＝cm OA OD 522=+，∴AB ＝5cm ，∴菱形的面积＝AB •DE ＝24cm 2，∴DE ＝8.4524=cm ，故答案为：4.8．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是34+265．【解答】解：如图，作点G 关于点C 的对称点H ，连接AH ，GH ，过点P 作PK ⊥BC 于K ，PJ ⊥AB 于J ．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝16，∴AC ＝2AB ＝162，∵PA ＝41AC ，∴PA ＝42，∵PJ ⊥AJ ，∠PAJ ＝45°，∴PJ ＝AJ ＝4，BJ ＝16﹣4＝12，∵PK ⊥BC ，∴∠B ＝∠PJB ＝∠PKB ＝90°，∴四边形PJBK 是矩形，∴PK ＝BJ ＝12，∵S △P AE ＝320＝21•AE •PJ ，∴AE ＝310，EJ ＝4﹣310＝32，∵∠JPK ＝∠MPN ＝90°，∴∠JPE ＝∠FPK ，∵∠PJE ＝∠PKF ＝90°，∴△PJE ∽△PKF ，∴FKEJ PK PJ ，∴FK32124=，∴FK ＝2，CF ＝12+2＝14，BF ＝2，∴BH ＝30，∴AF ＝65222=+BF AB ，AH ＝22BH AB +＝34，∵GF ＝GH ，∴AG +FG ＝AG +GH ，∵AG +GH ≥AH ，∴AG +GH ≥34，∴GA +FG 的最小值34，∴△AFG 的周长的最小值为34+265．故答案为34+265．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．【解答】解：原式＝|1﹣6×23|﹣33+4﹣1＝33﹣1﹣33+4﹣1＝2．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率94．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率32．【解答】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是92；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是94；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率64＝32；19．（8分）如图，▱ABCD 中，∠A ＝45°，连接BD ，且BD ⊥AD ，点E 、点F 分别是AB 、CD 上的点，连接EF 交BD 于点O ，且EF ⊥CD ，BE ＝DF ＝1．（1）求EF 的长；（2）直接写出▱ABCD 的面积8．【解答】解：（1）∵∠A ＝45°，BD ⊥AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠DBA ＝45°，AD ＝DB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∵EF ⊥CD ，∴EF ⊥AB ，∴△OEB 是等腰直角三角形，△DFO 是等腰直角三角形，∵DF ＝BE ＝1，∴OE ＝BE ＝1，OF ＝DF ＝1，∴EF ＝2；（2）∵△OEB 和△DFO 是等腰直角三角形，∵OE ＝EB ＝OF ＝DF ＝1，∴OD ＝OB ＝2，∴DB ＝22，∵△ADB 是等腰直角三角形，∴AB ＝2DB=22×2=4，∴▱ABCD 的面积＝AB •EF ＝4×2＝8．故答案为：8．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是8分，乙队成绩的众数是8分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S 2甲＝2，则成绩波动较大的是乙队．【解答】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为51（10+9+5+8+8）＝8，其方差S 2乙＝51[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝51×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S 2甲＜S 2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的弦，直线BC 与⊙O 相切于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，连接OA ，OB ．（1）求证：AB 平分∠OAD ；（2）当∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm 时．①直接写出扇形AOB 的面积约为31cm 2（结果精确到1cm 2）；②点E 是⊙O 上一动点（点E 不与点A 、点B 重合），连接AE ，BE ，请直接写出∠AEB＝50或130°．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∵OB ⊥CB ，AD ⊥BC ，∴OB ∥AD ，∴∠OBA ＝∠DAB ，∴∠OAB ＝∠DAB ，∴AB 平分∠OAD ；（2）①∵∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm ，∴扇形AOB 的面积为：36061002⨯π≈31（cm 2），故答案为：31；②当点E 在优弧AB 上时，∵∠AOB ＝100°，∴∠AEB ＝50°，当点E 在劣弧AB 上室，∠AEB ＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y ＝kx +b ，将（40，140）、（50，120）代入上式得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 5012040140，解得：⎩⎨⎧==2202b k ，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +220（40≤x ≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w ，则w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2（x ﹣110）（x ﹣40）（40≤x ≤70）；∵﹣2＜0，故w 有最大值，当x ＝70，w 最大值，最大值为240，故销售单价定为75元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标（0，13）或（0，2131+）．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3-k，解得：k ＝﹣3，将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：⎩⎨⎧+=+-=b k b k 331，解得⎩⎨⎧==41b k ，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣x3，y ＝x +4；（2）观察函数图象得，当x ＜0时，x ≥﹣1或x ≤﹣3时，不等式xk≥ax +b 成立，即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ＝2131+（负值已舍去）；当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，2131+）．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长53﹣5；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长63或83【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G 在线段DE 上时，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ＝10，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°＝∠ABD ，BD ＝2AB ＝102，GE ＝2AE ，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，∴∠BDE ＝45°﹣15°＝30°，∠DBE ＝45°+15°＝60°，∴∠DEB ＝90°，∴BE ＝21BD ＝52＝DG ，DE ＝3BE ＝56，∴GE ＝56﹣52，∴AE ＝2GE ＝53﹣5，当点E 在线段DG 上时，同理可求AE ＝53﹣5，故答案为：53﹣5；（3）如图，若点G 在线段DE 上时，∵AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，∴DB ＝13822=+AD AB ，GE ＝822=+AE AG ，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，又∵AEAG AB AD ==31∴△AGD ∽△AEB ，∴31==AB AD BE DG ，∠DGA ＝∠AEB ，∴BE ＝3DG ，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝123，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝63；如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE ＝163，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝83，综上所述：MN 为63或83，故答案为：63或83．八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标（﹣12+35，0）或（﹣3，0）；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．【解答】解：（1）由题意A （﹣12，0），B （0，﹣9），把A ，B 的坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 得⎩⎨⎧-==+--9012144c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=9451c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣451x ﹣9．（2）如图1中，设M （m ，﹣m 2﹣451m ﹣9），S △ABM ＝S △ACM +S △MBC ﹣S △ACB ＝21×9×（m +12）+21×12×（﹣m 2﹣451m ﹣9+9）﹣21×12×9＝﹣6m 2﹣72m ＝﹣6（m +6）2+216，∵﹣6＜0，∴m ＝﹣6时，△ABM 的面积最大，此时M （﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F 在AC 的延长线设时，连接DF ，FB ．设D （m ，0）．∵EF 垂直平分线段BD ，∴FD ＝FB ，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m +12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣35（舍弃）或﹣12+35，∴D （﹣12+35，0）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b ′x +c ′，可得⎩⎨⎧-==+--4'0''39c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4'313'c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．。