吉林九校联合体2014届第二次摸底考试数 学 试 题（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知{}{},3,21,≤=≤≤-==x x N x x M R U 则()=N M C U （ ） A.{}32≤≤x x B.{}32≤<x xC.{}321≤≤-≤x x x 或D.{}321≤<-<x x x 或 2．已知复数iiz ++=12,则复数z 在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在等差数列{}n a 中，,7,8451==+a a a 则=5a （ ） A.11 B.10 C.7 D.34．抛物线()022>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的左焦点，则=p （ ）A.22B.2C.22D.24 5．将函数x x y 2cos 2sin +=的图象向左平移4π个单位，所得图象的解析式是（ ） A.x x y 2sin 2cos += B. x x y 2sin 2cos -=C.x x y 2cos 2sin -=D.x x y cos sin = 6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到的点数中有3的概率为（ ） A.31 B. 41 C. 3611 D. 3613 7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A ．12 B ．32C ．1D ．138．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A.20B.30C.40D.50 9. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α ，则m ∥nB ．若α⊥m ，α⊥n ，则m ∥nC ．若m ∥α，m ∥β， ，则α∥βD ．若γα⊥ ，γβ⊥，则α∥β10.计算)4(cos 22cos )4tan(2αααπ-⋅+的值为( )A ．2-B ．2C ．1-D ．111．已知向量a =2(x ，)1+x ，b =x -1(，)t ，若函数=)(x f b a ⋅在区间（-1，1）上是增函数，则t 的取值范围为（ ）A ．5≥tB ．5>tC ．5<tD ．5≤t12．已知函数()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点()0,1对称．w 若对任意的()()08216,,22<-++-∈y y f x x f R y x 恒成立，则当3>x 时，22y x +的取值范围是（ ）A.()7,3B.()25,9C.()49,13D.()49,9 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将某班的60名学生编号为：,60,...,02,01采用系统抽样方法抽取一个容量为5的 样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是 14．若向量)3,2(=a ，)6,(-=x b ，且a ∥b ，则实数x =15．经过圆C ：0222=++x y x 的圆心，且与直线023=-+y x 垂直的直线方程 是16．在ABC ∆中，AB AB C ,3,60=︒=边上的高为34，则=+BC AC 三．解答题：（本大题共6小题，共60分）17. ( 本小题满分12分) 在各项均为负数的数列{}n a 中，已知点n a (，))(1*+∈N n a n 均在函数x y 32=的图象上，且27852=⋅a a . （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n a b n n +=，求n S .18. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面⊥ABC 平面BCDE ，2=AB ，4=AD ． （1）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG （2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥EFC B -的体积.19．( 本小题满分12分) 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定a ，b ，c 的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A 考官面试的概率.20．( 本小题满分12分) 已知以点)2,(tt C 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点. （1）求证：ΔOAB 的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M ，N ，若ON OM =，求圆C 的方程. 21．( 本小题满分12分) 已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的表达式；（2）设函数x ax x g ln )(-=.若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,211x ，总存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x 1,122，使得)()(12x f x g =，求实数a 的取值范围. 选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC∥DE，AC 与BD 相交于H 点（1）求证：BD 平分∠ABC（2）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长23. 已知某圆的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．24. 已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax （1）当1=a 时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．吉林九校联合体2014届第二次摸底考试 数 学 试 题（文科）参 考 答 案一、选择题（每小题5分，共60分） DDBCB CABBD AC 二、填空题-----2分------------8分------------12分 18.解：（1）证明：设CE BD O ⋂=，连接OG ，由三角形的中位线定理可得：AC OG //, ------------3分∵AC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴//AC 平面BDG ． ------------6分 （2）∵平面⊥ABC 平面BCDE ，BC DC ⊥ -------8分又∵F 是AB 的中点，ABC ∆是正三角形， ∴AB CF ⊥， ------------10分 ------------12分令0=y ，得01=x ，t x 22=, 则)0,2(t A -------3分-------4分-------5分------------9分-----11分∴ 圆心C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ------------12分21、（1）2222222)()(2)()(n x mnmx n x mx n x m x f ++-=+-+='.------------1分 由)(x f 在1=x 处取得极值2，故2)1(,0)1(=='f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-210)1(2nm n mmn ，--------3分解得：⎩⎨⎧==14n m ， 经检验：此时)(x f 在1=x 处取得极值，故14)(2+=x xx f .--------5分 （2）由（1）知22)1()1)(1(4)(++-='x x x x f ，故)(x f 在)1,21(上单调递增，在)2,1(上单调递减，由2)1(=f ，58)21()2(==f f ，故)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,58. -----------7分 依题意：x a x g 1)(-='，记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e M 1,12，21,e xe M x ≤≤∴∈ ①当e a ≤时，0)(≤'x g ，)(x g 单调递减，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥≤2)1(58)1(2eg e g 得e a 530≤≤，故此时e a 530≤≤.②当2e a e ≤<时,2111e a e >>,当)1,1(2a e x ∈时,0)(<'x g ；当)1,1(e a x ∈时，0)(>'x g ，依题意有：58)1(≤a g ，得53,581ln 1e a a ≤≤-，这与e a >矛盾.③当2e a >时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤≥58)1(2)1(2eg e g ，无解. -----11分综上所述:a 的取值范围是e a 530≤≤. -------------12分22、（1）ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴所以，BD 平分∠ABC -------------5分（2）由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似。

BDADAB AH =∴，因为AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，所以AH=3 ------10分 23、解（1）064422=+--+y x y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 22cos 22y x （α为参数） -------------5分（2）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+4sin 24παy x ， 所以其最大值为6，最小值为2 .-------------10分24、（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞ ． ------------5分（2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． -----------10分。