吉林省九校联合体2014年春学期高三第二次摸底考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知{}{},3,21,≤=≤≤-==x x N x x M R U 则()=N M C U （ ） A.{}32≤≤x x B.{}32≤<x x C.{}321≤≤-≤x x x 或 D.{}321≤<-<x x x 或 2．已知复数iiz ++=12,则复数z 在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在等差数列{}n a 中，,7,8451==+a a a 则=5a （ ） A.11 B.10 C.7 D.34．抛物线()022>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的左焦点，则=p （ ）A.22B.2C.22D.24 5．将函数x x y 2cos 2sin +=的图象向左平移4π个单位，所得图象的解析式是（ ） A.x x y 2sin 2cos += B. x x y 2sin 2cos -= C.x x y 2cos 2sin -= D.x x y cos sin =6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（ ） A.31 B.52 C.51 D.61 7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( ) A ．12 B ．32C ．1D ．138．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A.20 B.30 C.40 D.509.一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为2，二面角B AC D --的余弦值为31，则下列论断正确的是（ ） A.四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π3 B.四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π4 C.四边形ABC 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π33 D.不存在这样的球使得四边形ABCD 的四个顶点在此球面上10．如图，在四面体OABC 中，,13===BC AC 则=⋅（ ） A.8 B.6 C.4 D.311．已知函数()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点()0,1对称。

若对任意的()()08216,,22<-++-∈y y f x x f R y x 恒成立，则当3>x 时，22y x +的取值范围是（ ）A.()7,3 B.()25,9 C.()49,13 D.()49,9 12．若,2 (2)2201421n a a a+++=其中n a a a ,...,,21为两两不等的非负整数，令,tan ,cos ,sin 111∑∑∑======ni i ni i ni i a z a y a x 则z y x ,,的大小关系是（ ）A.z y x <<B.y x z <<C.y z x <<D.x z y << 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将某班的60名学生编号为：,60,...,02,01采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是14．设()⎰-=dx x n 23122,则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中含2x 项的系数是15．在ABC ∆中，AB AB C ,3,60=︒=边上的高为34，则=+BC AC 16．若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点A,B 都在函数()x f 的图象上；②点A,B 关于原点对称，则称()B A ,是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ ()B A ,与()A B ,可看作同一点对）。

已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个三．解答题：（本大题共6小题，共60分） 17. ( 本小题满分12分) 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42s i n (2t a n 2)(παα++=x x f ，数列{}n a 的首项11=a ，)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平面BCDE ，2=AB ，4=AD ．(1)若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG （2）试问点F 在线段AB 上什么位置时，二面角F CE B --的余弦值为13133. 19．( 本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：t ）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中的b a ,的值；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求: ① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5t 的概率;② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求ξ的分布列和期望.20．( 本小题满分12分) 已知点()1,0F ，直线,1:-=y l P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q,且.⋅=⋅ （1） 求动点P 的轨迹C 的方程；（2） 已知圆M 过定点()2,0D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A,B 两点，设,,21l DB l DA ==求1221l l l l +的最大值。

21．( 本小题满分12分) 已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的表达式；（2）设函数x ax x g ln )(-=.若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,211x ，总存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x 1,122，使得)()(12x f x g =，求实数a 的取值范围. 选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC∥DE，AC 与BD 相交于H 点（1）求证：BD 平分∠ABC（2）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长23. 已知某圆的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值． 24. 已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax （1）当1=a 时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．吉林省九校联合体2014届第二次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、DDBCB AABAC CB二、13、16,28,40,52 14、40 15、11 16、2 三、17、（Ⅰ）由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa ，---------2分 α 是锐角，42πα=∴------------4分1)42sin(=+∴πα 12)(+=∴x x f ----------------6分（Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ，----------------8分)1(211+=+∴+n n a a ,2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为211==a ,公比2=q 的等比数列,12-=∴nn a - --------------10分n n S n n n --=---=+2212)12(21 -------------12分18、（1）证明：连接CE BD 、，设CE BD O ⋂=，连接OG ， 由三角形的中位线定理可得：AC OG //,-------------2分 ∵AC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴//AC 平面BDG ． -------------4分 （2）建立如图空间直角坐标系，在Rt ACD ∆中，斜边4,2A D A C ==,得CD =，所以，(1,0,0),1,0,0),(1,23,0)B C -. 设BF BA λ=，得(1)F λ-.设平面CEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，由00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20(2)0x x z λ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x =21,1)n λ=-- . -------------8分而平面B C E 的法向量0(0,0,1)n = ，所以由题意00||||n nn n ⋅=-⋅，即21-=解得1λ=-（舍去）或12λ=，所以，当点F 在线段AB 的中点时，二面角F CE B --的余弦值为13133. -------------12分 19、（1）由题意知：3.0,5.0==b a -------------2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5t 的概率5.0=p ，设5天中该种商品有X 天的销售量为 1.5t ，则)5.0,5(~B X ，3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P -------------5分②ξ的可能取值为8,7,6,5,4，则：2.05.02.02)5(,04.02.0)4(2=⨯⨯=====ξξP P37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP 09.03.0)8(2===ξP ，ξ∴的分布列为：-------------10分 所以：2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE -------------12分20、设()(),1,,,-x Q y x P ()()(),1,0,1,,2,+=-=-=∴y y x x 代入已知可得，轨迹C 的轨迹方程为.42y x = -------------4分（2）设(),,b a M 则,42b a =(),22222-+==b a r MD∴圆M 的方程为()()().22222-+=-+-b a b y a x ---------6分令,0=y 则().2,44422±=-∴=+-=-a x b a a x不妨设()()()(),42,42,0,2,0,22221++=+-=∴+-a l a l a B a A()648264162422422122211221++=++=+=+∴a a a a l l l l l l l l -----------10分 0=a 时，,21221=+∴l l l l 0≠a 时，,22821612641612221221=⨯+≤++=+aa l l l l 当且仅当22±=a 时等号成立。