课时作业 函数的最大(小)值与导数
A 组 基础巩固
1．函数y ＝f (x )＝ln x x
的最大值为( ) A ．e －1 B ．e
C ．e 2
D ．10
解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x
2＝0⇒x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，
所以y 极大值＝f (e)＝e －1
，
在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.
答案：A
2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12
， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增．
所以f (x )的最大值是f (3)＝
134，最小值是f (1)＝32
.故选D. 答案：D
3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为
( )
A ．－5
B ．7
C ．10
D ．－19
解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)．
令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1.
∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0，
∴f (x )在[－2，－1]上递减．
∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5.
答案：A
4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．有最大值
D ．有最小值
∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n .
又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)．
∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，
∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20.
答案：20
9．函数f (x )＝12
e x (sin x ＋cos x )，x ∈[0,1]的值域为________． 解析：当0≤x ≤1时，
f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12
e x (cos x －sin x )＝e x cos x ＞0，所以
f (x )在[0,1]上单调递增，则f (0)≤f (x )≤f (1)，
即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，12e sin1＋cos1. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，12e sin1＋cos1 10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.
(1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．
解析：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，
故f ′(x )＝3ax 2＋b ，
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩
⎪⎨⎪⎧ f ′2＝0，f 2＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16， 化简得⎩
⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．
令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.
当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；
当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，
因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.
B 组 能力提升
11．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )
A ．0 B.π6
C.π3
D.π2
解析：由y ′＝1－2sin x ＝0及x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，解得x ＝π6.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2
，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，故选B. 答案：B
12．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A. [12，12e 2π] B. 211,e 22π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．[1，e 2π]
D ．(1，e 2π]
解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x .当0≤x ≤π2
时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝ 12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12
.故选A. 答案：A
13．设函数f (x )＝ax 3
－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．
解析：∵x ∈(0,1]，f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2x x 4.令g ′(x )
＝0，得x ＝12.当0＜x ＜12时，g ′(x )＞0；当12＜x ≤1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4.
答案：a ≥4
14．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：f (x )≤2x －2.
解析：(1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝0，f ′1＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，
解得a ＝－1，b ＝3.
(2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .
设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，
则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－x －1
2x ＋3x .
令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－32
(舍去)． 当0＜x ＜1时， g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0.
∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g (x )max ＝g (1)＝0，∴f (x )－(2x －2)≤0.
∴f (x )≤2x －2.
15．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43
. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103
在[－4,3]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝x 2
＋a ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4；
再由f (2)＝－43
，得b ＝4. 所以f (x )＝13
x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4. 令f ′(x )＝x 2－4＞0，得x ＞2或x ＜－2.
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43， f (3)＝1，所以函数f (x )在[－4,3]上的最大值为283
.
要使f (x )≤m 2＋m ＋103
在[－4,3]上恒成立， 只需m 2＋m ＋103≥283
，解得m ≥2或m ≤－3. 所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．。