导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
3 1 1 ∴y′＝ 4＋4cosx ′＝－ sinx. 4
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1 4 t 4
例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
练习：求下列函数的导数：
(1)y=x³-2x+3 2 3 (2)y＝ －2＋ －3 x x
2
(1)y′ =3x²－2 (2)y′ =4x＋9x²
(3) y′ =18 x ² － 8 x ＋ 9 (3)y＝(2x ＋3)(3x－2) (4) y′=1－1/2cosx
1 4 9 －4x －9x ＝－ 2－ 3－ 4. x x x
－3 －4
xsinx－2 xsinx 2 (4)y′＝ cosx －cosx′＝ ′ cosx
(xsinx－2)′cosx＋(xsinx－2)sinx ＝ 2 cos x (sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x－2sinx ＝ cos2x sinxcosx＋x－2sinx x 2tanx ＝ ＝tanx＋ 2 － . cos2x cos x cosx
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
2
;
总结：
1、熟记基本函数的导数公式 2、掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则 3、会求简单函数的导数
补充练习:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3；
2 (4)y＝xtanx－cosx.
• [解析] (1)方法一： y′＝[(x＋ 1)2]′(x－1)＋ (x ＋ 1)2(x － 1)′ ＝ 2(x ＋ 1)(x － 1) ＋ (x ＋ 1)2 ＝ 3x2＋2x－1. 方法二： y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－ x － 1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋x2cosx. 1 2 3 －1 －2 －3 －2 ＋ ＋ (3)y′＝ x ＋3· x )′＝－x 2 3 ′＝ (x ＋ 2· x x x
x x (4)y＝x－sin · cos 2 2
[例 2] 求函数 y＝sin ＋cos 的导数． 4 4
[解析]
2x
4x
4x
∵y＝sin 4＋cos 4
2x 2 2x 2x
4x
4x
＝(sin 4＋cos 4) －2sin 4cos 4 1 2x 1 1－cosx 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cosx， 2 2 2 2 4 4
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
3.2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式：
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x