Rn2,l (r)r 2dr
0
2 0
Yl*,m
(
,
)Yl
,m
(
,
)
s
in
dd
1
注意到球谐函数是已经归一化的，所以有：

0
2 0
Yl*,m
(
,

)Yl
,m
(
,

)
s
in
dd
1
故径向波函数的归一化的表达式应写为：
r 0
Rn2,l
z y
x z
y x
5.与角动量算符有关的对易关系:
1) LˆyLˆz LˆzLˆy iLˆx [Lˆy,Lˆz]iLˆx
LˆxLˆy LˆyLˆx iLˆz [Lˆx,Lˆy]iLˆz
LˆzLˆx LˆxLˆz iLˆy [Lˆz,Lˆx]iLˆy


m1 m2 m1r
m1 m2
U(r )
2M 2
z m1 r1 R
r m2 c
r2
o
y
定义：总 质量 M 与折 合质量 μ ：
M m1 m2 m1m2
m1 m2
定态薛定格方程为：
pM2
22 R
p2 22r
2

2M
2 R
这里n l m 为决定 nlm(r, , ) 的三个量子数. 由于能量本
征值只与主量子数 n 有关,所以En 是简并的.简并度为:
n1(2l 1)n2
l 0
可见一组确定的 n l m 就可以决定库仑场中电子的波函数 也就可完全决定库仑场中电子的一个状态.
通常还使用符号s , p , d , f , g , h .... 等依次表示 l = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .... 等具体数值。
(r )r 2dr
1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:
n,l,m(r, ,) Rn,l (r)Yl,m( ,)
n 1,2,3
n --- 称为主量子数。
l 0,1,2,3(n 1) l ---- 称为角量子数。
m 0,1,2,3 l m ---- 称为磁量子数。
p

2
1 2a0
3/2
0
0
2

e
i
pr
cos

e
r a0
r
2
s
in
drdd
0
c
p

2
2
2a0
3/2
0
1
e

i
pr
c
os
e

r a0
r
2
drd
c
os
1

p
2i 2a0
3/ 2
(2r
na)
nl 1 0
(1) 1
[(n l) !
(n l 1 ) !
]2(2r na)
(2l 1 )!

!
----缔合拉盖尔多项式
形R式n可,l (r写) 为的:归一化的

Rn2l
(r)r
2dr
1
r0
3. 氢原子中电子状态的波函数:
(r,,) Rnl(r)Ylm(,)
l(l 1) r 2 ]R(r)

0
和 Lˆ2Yl ,m ( , ) l(l 1) 2Yl ,m ( , )
三、氢原子定态薛定谔方程的解:
1. 能量本征值
En


22
e4 (4
0)2
1 n2
13.6
1 n2
(eV )
(n 1,2,3,)
• 能量是量子化的
• 当 n 时，En连续值
L2 l(l 1)2 l 0,1,2,3, 称为角量子数.
角动量平方算符的本征函数为:
Yl,m(,) Nl,mPlm(cos )eim Plm(cos ) ----缔合勒让德多项式
Nl,m
(2l1)(l m) !
4 (l m) !
----归一化系数
解：为此需把电子基态波函数按动量算符的本征波函数
来展开，写为：

100
(r )

c
p
p
(r )dp
其中：

cp *p (r )100(r )dr

100 (r )
1
r
e a0
a03


p
(r
)

1
2
3/2
i
pr
e
c
Lˆ2
2
sin


sin





2 sin 2

2
2
Lˆ2Yl,m(,) l(l 1)2Yl,m(,)
l(l 1) l 0,1,2,3
2﹑方程①的解： 把 λ = l（ l +1 ）代入方程 ① 可得：
1 r2
r
(r 2
B）当E＜0时：E只有取某些确定的值，方程才有满足波函 数标准化条件的解。
E

En


Z 2me
22(4
4
0)2
1 n2
(n 1,2,3,) ----- 系统的能量
具有分立谱。
②径向本征波函数：
当 E ˂ 0 时电子只能在核的附近运动，处于束缚态。
Rn,l (r)


Nn,le
Zr na

L L i L
该式给出角动量算符的一般定义.
2) [Lˆ2,Lˆx] 0 [Lˆ2,Lˆy] 0 [Lˆ2,Lˆz] 0
角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具 有共同的本征函数系.
6.球坐标系中角动量算符的表示:
x rsin
r
2



r
1
sin



sin







1
sin2
2
2

Ze2 E
4 0r
2﹑分离变量:
设： (r,,) R(r)Y (,)
将其代入原方程，并用

2 2mr
2
R(r)Y ( ,)
去除方程两边，移项以后可得：
1 r2
r
(r 2
dR(r dr
)
)


2m 2
(E

Ze2 )
4 0r

r2
R(r)

0
①
和
1
s in


s in

Y
( ,
)


s
1 in 2

2Y ( ,) 2

Y ( ,)
②
二﹑方程的解:
1﹑方程②就是角动量平方算符的本征值方程。
1.角动量平方算符的本征值方程:
Lˆ2Ylm( ,) L2Ylm( ,) 22,Ylm( ,)
利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数 Y( , ) 为有
限的条件下可求得:
Lˆ2Yl ,m ( , ) l(l 1) 2Yl ,m ( , )
即角动量平方算符的本征值为:
1 R(r)
d dr
r 2
dR(r) dr


2mr 2 2

E

Ze2
4 0r


1
Y ( ,)
1

sin



s in

Y
( ,)


1
sin2
2Y ( ,)
2

该方程左边只与 r 有关，而右边只与 θ ，φ 有关。所以， 如果两边能相等，那么只有他们同等于一个常数。并以 λ 来 表示该常数，则有：
2. 径向波函数
r
Rn,l(r) Nn,le na (2r na)Ln2l11(2r na)
a 4 02 ----称为玻尔半径
ne2 n称为主量子数.且有 l (n-1).
Nnl
(
2 na
)3
(nl 1) 2n[(nl)
! !
]3
----归一化系数
L2l1 n1
二、电子相对于核运动的定态薛定谔方程:
感兴趣的是原子内部的状态。而方程（2）就是描写电子 相对于核的运动情况的定态薛定格方程。
分离变量后可得:
2

2
2r

U
(r )(r )


E(r )
1 r2
r
(r 2
R(r ) ) r

[
2 2
(E

e2 ) 4 0r
2Zr na


nl 1 0
(1)
1
(n

[(n l)!]2 (2Zr na)
l 1 )!(2l 1 )!
----缔合拉盖尔多项式
波函数的归一化：

r
2
dr


*r,
,
r,
,
r
2
sin
drdd
1



r0
Lˆ x

i(sin


ctg
cos