§5-5 电场的能量
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一、带电体系的能量
带电体系的带电过程可看成是从电势0点移动电荷到 带电体系的带电过程可看成是从电势 点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是带电体系的能量 含互能、与自能） 带电体系的能量。 就是带电体系的能量。(含互能、与自能）
σ0
−σ0
εr
d
σ , E ,V , D, C,We
σ = σ0
K
充电后断开电源， ① 解：充电后断开电源，极板上 电量不变
V0
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σ0 = 2.介质中场强：E = 介质中场强： 介质中场强 ε r ε rε 0
E0
3.电压：插入介质后 电压： 电压
σ0
−σ0
V = Ed =
E0
εr
d=
V0
εr
4.电位移矢量 插入介质后 电位移矢量:插入介质后 电位移矢量
将极板拉开时外力作的功为 2 σ q A=q d= d 2ε 0 2ε 0 S 电容器拉开后，其电能为 拉开后， 拉开后 q2 q2 W= = 2C 2ε 0 S /(l + d )
2
σ F = qE = q 2ε 0
+q
−q
−q
F l
q2 q2 q l+ d = (l + d ) = 2ε 0 S 2ε 0 S 2ε 0 S
Q
Q
Q
R
A=∫
0
q 4πε 0 R
dq =
q2
8πε 0 R 0
=
Q2 8πε 0 R
=W
r
由电场能量密度积分得：
r>R时电场的能量元为
1 Q dw = ε 0 ( ) 2 4πr 2 dr 2 4πε 0 r 2
2
W =∫
R
∞
Q
2
8πε 0 r
dr = −
Q
2
∞
8πε 0 r
=
R
Q2 8πε 0 R
d
7
= W0 + A
外力作正功，电容器能量增加。 外力作正功，电容器能量增加。
由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。 静电能存储于电场中。
1D 1 V体 W = EDV体 = 2 ε 2
2
1 1 2 1D W = εE V体 = EDV体 = V体 2 2 2 ε212源自ε rε 0 Sd
= ε r C0
6.能量 能量
2 0
q W0 = , 2C0
2 0
εr
d
2 q q0 W0 W= = = 2C 2ε rC0 ε r
K
V0
11
充电后保持电压不变， 介质； ②.充电后保持电压不变，插入 εr 介质； 充电后保持电压不变 不断开。 解：电压不变即电键 K 不断开。 1.电压 电压 2.场强 场强
1 q 2 q2 1 ) Sd = d ∆W = ε 0 E 2V体 = ε 0 ( 2 ε0S 2ε 0 S 2
该能量恰与电容器的能量增量相同。 该能量恰与电容器的能量增量相同。
q2 q2 W= l+ d 2ε 0 S 2ε 0 S
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四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如 ： 下 σ 0 , E0 , V0 , D0 , C0 ,W0 充电后断开电源， ①.充电后断开电源，插入介电常 充电后断开电源 介质； 数为 εr 介质； ②.充电后保持电压不变， 充电后保持电压不变， 充电后保持电压不变 插入 εr 介质； 求：
−λ
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解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 的高斯柱面， 由介质中高斯定理： 由介质中高斯定理：
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q 0
D2πrh = λh
λ
εr
h
R1 R2
r −λ
λ D= 2πr
场强
λ = E= ε 0ε r 2πε 0ε r r
D
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②极间电压 R R U12 = ∫R E ⋅ dl = ∫R Edr λ dr R = ∫R 2πε 0ε r r
K
U0
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例5：同轴电缆由内 ： 径为 R1、外径为 R2 的两无限长金属圆柱 面构成， 面构成，单位长度带 电量分别为 +λ、 -λ， 电介质。 其间充有 εr 电介质。 求：①两柱面间的场 强 E；②电势差 U； ； ； ③单位长度电容 ； 单位长度贮存能量。 ④单位长度贮存能量。
λ
R1
εr
R2
移动 dq 作的元功
+q E
−q
dA = Vdq
极板带电量从 0 到Q 作功
A = ∫ dA = ∫0 Vdq = W
Q
Q
0
dq
外力所做的功A转化为带电体的 外力所做的功 转化为带电体的 能量W。 能量 。
u
2
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。 由： dA=Vdq 得： q dA = dq 4πε 0 R 将导体球的电荷从0增加到Q,所作的功为
R1 R2
r −λ
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λh R2 We = ln 4πε 0ε r R1
2
λ
εr
h
单位长度贮存能量
R1 R2
r −λ
We we = h
λ R2 = ln 4πε 0ε r R1
2
19
σ0
εr
−σ0
K
U0
20
1 ε 0ε rS 1 1 2 2 2 = ( Ed ) = ε 0ε r E Sd W = CU 2 d 2 2 1 2 = εE V体 2 由 D = εE 有
σ0
−σ0
εr
d
C = ε rC0
K
U0
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6.电容器能量 电容器能量We 电容器能量
1 W0 = q0V0 2
σ0
εr
−σ0
1 1 W = qV0 = ε r q0V0 2 2
= ε rW0
由于q增多而增加的能量， 由于 增多而增加的能量，大 增多而增加的能量 于插入介质损失的能量， 于插入介质损失的能量，所以 W也增加。 也增加。 也增加
4
W
为电容器能量，单位：焦耳， 。 为电容器能量，单位：焦耳，J。
三、电场的能量
带电体系具有能量， 带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下： 存在于电场之中。电场能量计算如下：
以充满介质的平行板电容器为例
1 ε 0ε r S 2 1 2 1 2 ( Ed ) = ε 0ε r E Sd 能量由： 能量由： W = CV = 2 2 d 2 1 2 = εE V体 2
2
2
λ
εr
h
1
1
2
R1 R2
r −λ
1
λ R2 = ln 2πε 0ε r R1
③单位长度电容
2πε 0ε r h h 长电容 C = = U12 ln( R2 / R1 )
λh
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单位长度电容
λ
εr
h
C 2πε 0ε r c= = h ln( R2 / R1 )
④单位长度贮存能量 h 长贮存能量 1 We = qU12 2 1 λ R2 = λh ln 2 2πε 0ε r R1
V = V0
σ0
−σ0
Ed = E0d, ∴ E = E0
3.自由电荷面密度 3.自由电荷面密度
∵V = V0
σ0 σ = , ε 0 ε 0ε r σ = ε rσ 0
εr
d
K
V0
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4.电位移矢量 电位移矢量D 电位移矢量
∵ D0 = σ 0
D = σ = ε rσ 0 = ε r D0
5.电容 5.电容 由于电容器电容与电量无关， 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关， 与介质有关，充满介质时
3
二、电容器存储的能量： 电容器存储的能量： 电容器的电压由： 电容器的电压由：V = q C Q Q q dq A= Vdq = ∫0 0 C 1 Q2 = 2C
+q E
−q
∫
dq
V
外力作功等于电容器能量增量， 外力作功等于电容器能量增量，
CV 1Q A =W = = 2C 2
2
2
1 = QV 2
5
C=
ε 0ε r S
d
, V = Ed
三、电场的能量密度
1 2 W = εE V体 2
单位体积内的电场能量。 单位体积内的电场能量。 w = W V体
2 1 2 1 1D w = εE = ED = 2 2 ε 2
非均匀电场能量计算
W = ∫ wdV
V
只要确定 w 就可计算电场能量 W。 。
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例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将极 ： ， ， 板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能量 ， 的增量。 的增量。 解：拉力
D = ε 0ε r E = ε 0ε r
E0
εr
d
εr
= ε 0 E0 = σ 0 = D0
K
不变， 也不变。 由于 D = σ0 ，断开电源后 σ0 不变，D 也不变。
V0
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