插入 r 介质；
求： , E,V , D, C,We
① 解：充电后断开电源，极板上
电量不变
0
精品PPT
0 0
r
d
K
V0
2.介质中场强：E E0 0 r r0
3.电压：插入介质后
V
Ed
E0
r
d
V0
r
4.电位移矢量:插入介质后
D 0rE
0r
E0
r
0 0
r
d
0E 0 0 D0
K
由于 D = 0 ，断开电源后 精品0 P不PT 变，D 也不变。
§5-5 电场的能量
精品PPT
一、带电体系的能量
带电体系的带电过程可看成是从电势0点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是带电体系的能量。(含互能、与自能）
移动 dq 作的元功
dA Vdq
q
q
E
极板带电量从 0 到Q 作功
A
Q
dA
Q
Vdq W
0
0
外力所做的功A转化为带电体的
Ed E 0d , E E 0
3.自由电荷面密度
0 ,
r
0 0r
d
r0
精品PPT
K
V0
4.电位移矢量D
D0 0 D r0
r D0
5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
C rC0
精品PPT
0 0
r
d K U0
6.电容器能量We
W0
1 2
q0V0
W
1 2
q E
dq
V
三、电场的能量
带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下：
以充满介质的平行板电容器为例
C 0rS , V Ed
d
能量由：
W
1 CV 2 2
1 0rS
2d
(Ed
)2
1 2
0r E
2Sd
1 2
E
2V
体
精品PPT
三、电场的能量密度
W
1 2
E
2V体
单位体积内的电场能量。 w W V体
③单位长度电容
r
h
R1 R2
r
h 长电容 C h 20rh
U 12 ln( R 精品PPT 2 / R1 )
单位长度电容
c C 20r
h ln( R2 / R1 ) ④单位长度贮存能量
h 长贮存能量
We
1 2
qU
12
1 h ln R2 2 2 0r R1
精品PPT
r
h
R1 R2
r
We
qV0
1 2
r q0V0
rW0
由于q增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以 W也增加。
精品PPT
0
0
r
K U0
例5：同轴电缆由内 径为 R1、外径为 R2的 两无限长金属圆柱面 构成，单位长度带电
量分别为 +、 -， 其间充有 r 电介质。
求：①两柱面间的场 强 E；②电势差 U； ③单位长度电容 ；④ 单位长度贮存能量。
V0
5.电容
由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
C
r0S
d
rC0
6.能量
W0
q02 2C0
,
W q02
q
2 0
W0
2C 2rC0 r
精品PPT
0 0
r
d K V0
②.充电后保持电压不变，插入 r 介质；
解：电压不变即电键 K 不断开。
0
0
1.电压 V V0
2.场强 V V0
w 1 E 2 1 ED 1 D2
22
2
非均匀电场能量计算
W V wdV
只要确定 w 就可计算电场能量 W。
精品PPT
例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将极
板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能量的
增量。
解：拉力
F qE q
2 0
q
将极板拉开时外力作的功为
精品PPT
R1 R2
r
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
D d S q 0
r R1
R2
D2rh h
h
r
D
2r
场强
E D 0r 2 0rr
精品PPT
②极间电压
U 12
E R2
R1
dl
R2
R1
Edr
R2
R1
2 0
r
dr r
ln R2 2 0r R1
2h 4 0r
ln
R2 R1
单位长度贮存能量
we
We h
2 ln R2 4 0r R1
r
h
R1 R2
r
精品PPT
0
0
r
精品PPT
K U0
W
1 CU 2 2
1 0rS
2d
(Ed
)2
1 2
0
r
E
2Sd
1 2
E
2V
体
由 D 2
D2
V体
W
1 2
E
2V体
1 2
EDV
体
1 2
)2
4r
2dr
W
R
Q2
8 0r
2
dr
Q2
8 精品PPT 0r
R
Q2
8 0R
二、电容器存储的能量：
q
电容器的电压由：V q C
A
Q 0
Vdq
0Q
q dq C
1Q2 2C
外力作功等于电容器能量增量，
AW 1 Q2
2C
CV 2
2
1 QV 2
W 为电容器能量，单位：精品焦PPT耳，J。
q q
A q d q2 d 20 20S
电容器拉开后，其电能为
W q2
q2
2C 20S /(l d)
q2 (l d)
2 0 S
q2 l q2 d
20S 20S
F ld
W0 A 外力作正功精，品P电PT容器能量增加。
由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。
D2
V体
精品PPT
能量W。
精品PPT
dq u
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。
由： dA=Vdq 得：
dA q dq
4 0R
将导体球的电荷从0增加到Q,所作的功为
W Q
A
q
dq
q2
Q
Q2
0 4 0R
8 0R 0 8 0R
QR
r
由电场能量密度积分得：
r>R时电场的能量元为
dw
1 2
0(
Q
4 0r 2
W
1 2
0
E
2V体
1 2
0
(
q 0S
)2
Sd
q2 d
2 0 S
该能量恰与电容器的能量增量相同。
W q2 l q2 d
20S 20S
精品PPT
四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如
下
0 , E0 ,V0 , D0 , C0 ,W0
①.充电后断开电源，插入介电常 数为 r 介质；
②.充电后保持电压不变，