又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD 求面 SCD 与面 SAB 所成的二面角的余弦值。
S
1 , 2
你能找到所求 二面角的棱吗？
A
B
C
D
探究新知
问题：
二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没
有关系？

n1
n2

l
探究新知
n1 , n2
解： 以D为原点建立如图所示的 空间直 角坐标系， 则D (0,0,0), A( 2,0,0), A1 ( 2,0,2), Q (1,2,0) 设平面A1 DQ的一个法向量n （x , y, z ), 则 n DA1 ，n DQ DA1 （ 2， 0， 2） 2 x 2 z 0 DQ （ 1， 2， 0） x 2y 0 1 令x 1, y , z 1 2 1 n (1, ,1) AA 1 平面ADQ 2
探究新知
n1, n2
探究新知
• 问题： 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互 补。 • 再次演示课件
细心想一想， 你将有新发现！！
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( C ) A.45° C.45°或135°
| m || n |
平 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 面
BF DE
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解
设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，
x z 0, u CE 0, 则 于是 y z 0. u DE 0. 令x=1,可得u=(1,1,1).
当堂检测
ABC是以B为直角的直角三角形。SA 平面ABC , SA BC 2, AB 4, M 、N 分别是AB、BC的中点。求二面角S NM A的余弦值。
例题精讲
如图， ABCD 是直角梯形，
S
ABC BAD 90,
又SA 面ABCD,
B
C
SA AB BC 1, AD
AD n
1
结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、 证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向 量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创 设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
巩固练习：
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．
求面 SCD 与面 SAB 所成的锐二面角的余弦值。
【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角 的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接 利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量
1 , 2
A
D
的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。 如图，ABCD是直角梯形， ABC BAD 90,
又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1).
所以, cos u, v uv 0 0 1 3 . | u || v | 3 3 1
因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为
3 . 3
课后作业：第111页A组：6、8
•谢谢

z
y x
AA 1 是平面ADQ的一个法向量 AA （ 0， 0， 2） cos n , AA 1 1


n AA1


n AA 1


2 2 3 1 1 1 2 4
2 观察图形可知二面角的 平面是锐角 二面角A DQ A1的平面角的余弦值是 。 3
结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、 证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向 量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创 设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
例2：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD， CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角 A－BE－D的余弦值．
又SA 面ABCD, SA
1 AB BC 1, AD 2 ,
求面 SCD
与面SAB 所成的二面角的余弦值。 解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz, 则 A (0,0,0), D ( 1 ,0,0), C (1,1,0), S (0,0,1), z S 2 设n ( x, y, z )是面SCD的法向量， 则 y B n DC, n SD. 1 1 A D DC ( 2 ,1,0), SD ( 2 ,0,1),
C
x

1 x y 0 2 1 x z 0 2
x 2 令z=1解之得 y 1
z
n (2,1,1)
S
AD 面SAB
B
1 AD ( ,0,0) 是平面SAB的法向量， 2
y
C
A
D
x
6 cos AD , n 3 | AD || n | 1 6 2 AD, n 就是二面角的平面角， 6 所求锐二面角的余弦值为： 3
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几 何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
课后思考
（2009·天津理，19）
如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥
1 AD= AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE 2
.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE; (3)求锐二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设
AB=1，依题意得B(1,0,0),
C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，
课题：利用向量方法 求二面角
温故知新
1、二面角的定义： 四、教学过程的设计与实施 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 二面角 ，这条直线叫做 二面角的棱 ， 这两个半平面叫做 二面角的面 .
2、如何作二面角α—l—β的平面角？

B O A

l
如图， ABCD 是直角梯形， ABC BAD 90,
B.135° D.90°
1 2 2
解析 cos m , n m n 1 2 ,
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
练一练
∴两平面所成二面角为45°或135°.
例1．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB ＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点， 且EB＝FB＝1， (1)求二面角C—DE—C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．
练习：若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC ＝1，BC＝ ，求二面角A—PB—C的余 2 弦值．
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几 何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
1 1 M ( ,1, ). 2 2
BF (1,0,1), DE (0,1,1), 0 0 1 1 于是 cos BF , DE . 2 2 2 | B的大小为60°.
1 1 由 AM ( ,1, ), CE (1,0,1), AD (0,2,0), (2)证明 2 2 可得CE AM 0， CE AD 0.因此CE AM , CE AD.