x 面SAB
由n DC且n
AD (1,
SD. 得n (2, 1,1)
0, 0)是平面SAB的法向量，
cos AD, n AD n 6
4.求两法向量夹角
二面角的平| 面AD角|| n是| 锐角3（一出一进）
所求二面角的余弦值为： 6 3
5.定值
近几年部分新课标高考题分析
(2019.18)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
z
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空
间向量法求解二面角的问题.求解二
面角的关键是能够利用垂直关系建
立空间直角坐标系，从而通过求解
O
法向量夹角的余弦值来得到二面角
的正弦值，属于常规题型.
x
y
归纳总结
两种方法 一个步骤 两个思想
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角 两个平面的法向量的夹角求解 用法向量求二面角大小的步骤
数形结合 类比转化
14
板书设计
用向量法求二面角的大小
1、
3、例题
解：
由 n SC 0 ， n SD 0 ，得
n1, n2 , cos n1 n2
n1 n2
2、
n1, n2 n1, n2
cos n1 n2 n1 n2
cos n1 n2 n1 n2
SA、AB、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz，
1 x z 0, 2 x y z 0.
则 A(0,0,0)，S(0,0,1)，D ( 1 ,0,0) ， 2
C(1,1,0， SC (1,1,1) ， SD (1 ,0,1) ， 2
取 z=1，得 n (2,1,1) ， cos n, AD n AD 6
z
平面ABD1的一个法向量为
DA1 (0,1,1)
D1 C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
D
Ay
DC1 (1,0,1)
x
C
B
cos 1/ 2, 120
二面角A-BD1-C的大小为120 .
实践操作
如图，ABCD是直角梯形，ABC B BC 2AD,求面SCD与 答题模板
2
6
探究方法
问题1：
二面角的平面角AOB能否转化成向量的夹角？

B
O l

A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半 平面的法向量有没有关系？
n
a


n1 n2

l
B
的角就是二面角


O
A
l
4
温故知新
4.异面直线所成的角
v1

v2
v1,v2

|
v1
v2
v1,v2
温故知新
5.直线与平面所成的角
n 直线的方向向量为 a，平面的法向量为
n
a
a


a, n
2

sin cosa,b
B

n
a, n
3
通过经历向量法求 二面角大小的推导 过程，培养大胆探 索精神，提高学习 立体几何的兴趣．
3
温故知新
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围：0,
3.如何作二面角的平面角？
定义法：在棱上取一点，在两个半平面内 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹
以DF为折痕把∆DEF折起，使点C到达点P的位置，且PF┴BF
(1)证明：平面PEF┴平面ABFD;
z
(2)求DP与平面所成角的正弦值.
3
4
x
2017全国一卷18
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB//CD中，且 BAP= CDP=900 （1）证明：平面PAB┴平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC, APD=900，求二面角A－PB－C的余弦值.
教学目标
1
通过类比异面直线 所成的角、直线与 平面所成角的解决 方法，得到用向量 求二面角大小的方 法，并能用之解决 有关问题，体会向 量方法在研究几何 问题中的作用．
2
在探究用向量法求二 面角大小的过程中， 体会数形结合、类比 转化的数学思想，进 一步提高空间想象能 力、分析问题和解决 问题的能力．
探究方法 思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系




n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
问题：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
利用空间向量求二面角
——临漳县第一中学 张艳梅
求二面角是立体几何的一类重要的问题，
也是高考的热点之一。高中立体几何引入了空 间向量，大大降低了立体几何的解题难度，它 不仅是对传统方法的有力补充,而且还可以最大 限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添 加的困难,将灵活的逻辑推理转化为机械。向量 的应用在高考数学解答题中得到了充分的体现. 本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决二 面角问题。
z
3 3
y
x
面SAB所成的二面角的余弦值。
z
解：建系如图 不妨设AB 2
1.建系
S
A(0,0,0), D(1,0,0),C(2, 2,0),S(0,0, 2), 2.找点坐标
y
设n (x, y, z)是面SCD的法向量，
B
C DC 1，2,0, SD 1，0， 2
3.求法向量坐标
A

D AD
n AD 3
AD (1 ,0,0) 为平面 SAB 的法向量， 2
n, AD 与二面角大小相等
设平面 SCD 的法向量为 n(x, y,z)， 平面 SAB 与平面 SCD 的所成
二面角的余弦值 6 3
2018全国一卷18
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
9
课前热身
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为 ________．
解1
D1 C1
A1
B1
D
A
C
B
课前热身
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为
__1_2_0_°___．
解2 建立直角坐标系.